Este libro de Memorias recoge contribuciones de expertos internacionales y nacionales en el uso de GeoGebra como recurso didáctico para la enseñanza de las matemáticas presentadas en las IV Jornadas Ecuatorianas de GeoGebra organizada por el Instituto Ecuatoriano de GeoGebra con sede en la Universidad Nacional de Educación. Consta de cuatro secciones: conferencias, ponencias, talleres y experiencias de aprendizaje orientados a profesores, educadores de matemática y estudiantes de universidades. IV JORNADAS ECUATORIANAS DE GEOGEBRA Memorias de las IV Jornadas Ecuatorianas de GeoGebra Javier Loyola (Chuquipata) Universidad Nacional de Educación-UNAE del 14 al 15 de julio de 2022 UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR - UNAE Rebeca Castellanos Gómez, PhD. Rectora Luis Enrique Hernández Amaro, PhD. Vicerrector de Formación Graciela de la Caridad Urías Arbolaez, PhD. Vicerrectora de Investigación, Innovación y Posgrados CASA DE LA CULTURA ECUATORIANA NÚCLEO DEL CAÑAR (CCE) Ing. Juan Álvarez Fernández Director del Núcleo Provincial Memorias de la IV Jornada Ecuatoriana de GeoGebra Coordinador: Roxana Auccahuallpa Fernández Comité Organizador: Marco Vinicio Vásquez Bernal Henrry Onel Ulloa Buitrón Andrés Bedón Byron Pazmiño Anita Tapia Comité Científico: Roxana Auccahuallpa Fernández Rosa Mariela Feria Granda Hugo Fernando Encalada Segovia Rafael Eduardo Rodríguez Jara Jaime Ivan Ullauri Ullauri Carol Ivone Ullauri Ullauri Obra arbitrada por pares ciegos Revisores Académicos: Este libro fue editado con el financiamiento de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI). Editorial Casa de la Cultura Núcleo del Cañar Diseño, diagramación: CCE – Núcleo del Cañar Impresión: Congraf Corrección de textos: Dra. Roxana Auccahuallpa Fernández y Dr. Rafael Rodríguez Jara ISBN: 978-9942-798-26-8 Tiraje: 300 ejemplares Primera Reimpresión: Julio, 2023 Azogues – Ecuador Indice CONFERENCIAS.......................................................................... 15 GeoGebra Classroom y metodologías híbridas en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas..........................................................................................................................................17 GeoGebra como puente de comunicación entre la Matemática y la Biología...........25 PONENCIAS.................................................................................. 31 Educación híbrida, comunidades de aprendizaje y GeoGebra........................................33 Percepción del profesorado ecuatoriano sobre los desafíos y oportunidades de GeoGebra en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas durante la pandemia del Covid-19..........................................................................................................................................41 Aplicación de GeoGebra en las competencias matemáticas en Educación Inicial..47 Los puentes de Königsberg, una puerta al razonamiento matemático ......................53 Enseñando transformaciones de funciones mediante el uso de GeoGebra...............59 Una nueva mirada al desorden.....................................................................................................65 Recursos interactivos de operaciones aritméticas en el conjunto de los números enteros con el software GeoGebra...............................................................................................71 GeoGebra como recurso didáctico para graficar geometría molecular.......................80 Evaluación del impacto de GeoGebra en la motivación estudiantil..............................87 Entendiendo el concepto de la derivada desde su representación gráfica con GeoGebra................................................................................................................................................93 GeoGebra y la determinación de centros de gravedad de polígonos ....................... 107 Una introducción a la conjetura de Collatz usando GeoGebra..................................... 115 Una perspectiva didáctica con GeoGebra de los métodos numéricos para la aproximación de integrales en el cálculo de volúmenes................................................. 123 TALLERES....................................................................................131 Características de las funciones polinómicas mediante la utilización del GeoGebra................................................................................................................................133 Actividades didácticas para el desarrollo del pensamiento lógico matemático con GeoGebra............................................................................................................................................. 139 Construcciones de objetos matemáticos usando GeoGebra.......................................... 145 Fundamentos teóricos de la animación de objetos geométricos en GeoGebra..... 155 Algunos teoremas para la profundización en el curriculum del bachillerato ecuatoriano......................................................................................................................................... 159 EXPERIENCIAS DE APRENDIZAJE....................................169 Desarrollo de competencias digitales en la didáctica de matemáticas..................... 171 Precipitación media mediante el método de polígonos de Thiessen........................ 173 Creación de actividades dinámicas con el uso de GeoGebra......................................... 175 Manual interactivo del software GeoGebra en física para vectores........................... 177 Recursos interactivos de operaciones aritméticas en el conjunto de los números enteros con el software GeoGebra............................................................................................ 179 Ecuación vectorial de la recta: recurso didáctico en GeoGebra................................... 181 Secuencia didáctica para la enseñanza de ecuaciones lineales................................... 183 Recursos interactivos de operaciones aritméticas en el conjunto de los números enteros con el software GeoGebra............................................................................................ 185 11 Prólogo Por Graciela de la Caridad Urías Arbolaez, PhD.1 El proceso del docente contemporáneo tiene un imperativo estratégico: la enseñanza basada en el empleo de la tecnología y su aplicación en el aprendizaje de las ciencias, en específico de la Matemática, para motivar a los estudiantes y para aprender desde la propia ciencia, de ahí que estos textos constituyen empeños para cumplir con este propósito desde la aplicación del programa matemático libre y gratuito GeoGebra. Como contribución a este imperativo, especialistas nacionales y extranjeros de América Latina y el Caribe participan en la publicación de este libro centrado en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática y su vínculo multidisciplinario auspiciado por la Universidad Nacional de Educación del Ecuador y la Organización de Estados Iberoamericanos (OEI), al presentar este libro: “Memorias de las IV Jornadas Ecuatorianas de GeoGebra”, celebrada los días 14 y 15 de julio, 2022. Esta recopilación de textos científicos ha estado coordinada por la profesora Roxana Auccahuallpa Fernández y el grupo EUREKA 4i. Los textos aquí editados, aportan reflexiones, conceptos, experiencias y propuestas prácticas para el aprendizaje de la matemática, y su aplicación desde una perspectiva múltiple en vínculo con otras ciencias; los analistas parten del vínculo de la matemática con la tecnología, entre ellos, los software libres, que ayudan a materializar el propósito de enseñar estimulando la creatividad; para ello se emplea el software GeoGebra, de extraordinario valor para el aprendizaje de la matemática, no solo porque contribuye a la rápida solución de problemas, sino porque permite el desarrollo de la creatividad. GeoGebra da nombre al producto informático creado por Markus Hohenwarter, resultado de su tesis de Maestría presentada en la Universidad de Salzburgo, Austria en 2002; traducido a varios idiomas y con el propósito de perfeccionar su aplicación, su autor agregó nuevas funciones y materiales didácticos interactivos, aumentando así la participación de los estudiantes mediante los foros a nivel internacional. Es este un software matemático libre, dinámico, concebido para todos los niveles educativos que reúne operaciones desde la geometría y el álgebra, e incluye hojas de cálculo, gráficas 2D y 3D, estadísticas y cálculo CAS; explora funciones, resuelve ecuaciones y presenta una calculadora; permite al estudiante analizar de forma detallada contenidos matemáticos en menor tiempo, contribuye a mejorar el rendimiento académico y el desarrollo de las competencias matemáticas, para su posterior puesta en práctica, a la vez que facilita la construcción del conocimiento por parte del alumno, el autoaprendizaje, ajusta el tiempo a invertir en cada actividad, y eleva la motivación y creatividad; además, ofrece varias vistas: una vista gráfica, una vista numérica y otra algebraica, y una hoja de cálculo. En su versión 5 es posible la vinculación dinámica entre la vista gráfica 2D (utiliza construcciones geométricas empleando puntos, rectas, segmentos, polígonos, cónicas, mediante la rotación y la traslación de objetos); vista algebraica (representaciones algebraicas y numéricas de los objetos representados), vista gráfica 3 D, vista CAS (cálculo simbólico), realiza cálculos de forma simbólica, 1  Vicerrectora de Investigación Innovación y Postgrados - Universidad Nacional de Educación 12 (derivadas, integrales, ecuaciones, cálculo matricial), vista de probabilidades y estadísticas (permite realizar test estadísticos). El libro se estructura en cuatro partes: conferencias, ponencias, talleres y experiencias de aprendizaje; participan profesores y especialistas en la enseñanza de la matemática de México, Alemania, Bolivia, República Dominicana y una amplia nómina de centros docentes del Ecuador (Unidades Educativas, Universidad Nacional de Educación, Universidad Central del Ecuador, Universidad Técnica Particular de Loja-UTPL, Pontificia Universidad Católica del Ecuador, Universidad Regional Amazónica Ikiam) . La sección Conferencias iniciada con el texto “GeoGebra Classroom y metodologías híbridas en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas”, constituye la plataforma teórica del asunto en estudio. Sus autores, Pari y Seelbach, afirman: “Con la introducción de GeoGebra Classroom y las metodologías híbridas en el entorno educativo, el proceso de enseñanza aprendizaje ha experimentado una transformación que favorece y facilita el acceso al conocimiento del estudiante de forma flexible, dinámica y personalizada”, porque el docente puede ver en tiempo real las construcciones realizadas por sus alumnos en las aplicaciones de GeoGebra, las respuestas dadas a las preguntas y la frecuencia gráfica de las respuestas en el caso de las preguntas de opción múltiple. En la segunda conferencia, titulada “GeoGebra como puente de comunicación entre la Matemática y la Biología”, su autora, Valero, se propone vincular el aprendizaje de la matemática y lo biológico, con un tema muy sensible que afecta a millones de adolescentes en el mundo: el fenómeno de la maternidad precoz, mediante la modelación de los procesos de aprendizaje de la matemática y sus roles en el conocimiento del proceso del parto: “En el diseño del applet se presenta un partograma aprovechando los poderosos recursos expresivos de GeoGebra para enriquecer los significados del gráfico de una función exponencial–logística que relaciona la Dilatación Cervical con el tiempo de parto”. Llamo la atención hacia el aporte de los gráficos por contribuir al conocimiento del proceso de parto, desde la interdisciplinariedad. La sección dedicada a las Ponencias ocupa el mayor espacio en esta recopilación (incluye 12 textos); en Ibarra y Cruz2 y Auccahuallpa y Pari3 se destacan reflexiones teóricas en torno al concepto y posibilidades didácticas del GeoGebra en el contexto de la pandemia de la Covid-19 en la búsqueda de nuevos escenarios de aprendizaje (convencionales y virtuales), mostrando sus reflexiones sobre el GeoGebra como elemento articulador y aportador de nuevas propuestas didácticas. Dado su aplicabilidad en todos los niveles de enseñanza, son variadas las muestras en el aprendizaje de esta ciencia tratadas en distintas ponencias: desde la formación inicial, Rodríguez, Punin y Cuzco4 trabajan el desarrollo del pensamiento lógico fundamentado en el conocimiento de este software a través 2  Marcos Manuel Ibarra Núñez y Yanira Xiomara de la Cruz Castañeda. “Educación híbrida, comunidades de aprendizaje y GeoGebra”. 3  Roxana Auccahuallpa Fernandez y Abdon Pari Condori. “Percepción del profesorado ecuatoriano sobre los desafíos y oportunidades de GeoGebra en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas durante la pandemia del Covid-19”. 4  Diana Isabel Rodríguez Rodríguez; Viviana Catalina Punín Ortiz y Andrea Paola Cuzco Cumbe. “Aplicación de GeoGebra en las competencias matemáticas en Educación Inicial”. 13 del análisis, comparación y comprensión para apropiarse del conocimiento adquirido); Piñán y Anangano5 desarrollan un programa enfocado en la enseñanza de las transformaciones de funciones para hacer una comparación estadística de los resultados obtenidos en un experimento didáctico con estudiantes de nivelación de esta carrera; Maldonado y Mejía6 encuentran su aplicabilidad a la segunda Ley de la Termodinámica “como una explicación del por qué ciertos fenómenos que deberían respetar el principio de la conservación de energía no lo hacen”; Morales7 presenta la experiencia obtenida de la “aplicación de recursos interactivos de Operaciones Aritméticas en el Conjunto de los Números Enteros (Z) con el software GeoGebra a estudiantes de Educación General Básica Superior”; De los Santos y Marmolejos8se proponen incrementar la motivación y el aprovechamiento de los estudiantes en el aprendizaje de la matemática en el nivel secundario; en esta misma problemática de la motivación para el aprendizaje se insertan Lugo, Méndez y Rosario9 en relación con la enseñanza del cálculo diferencial mediante su representación gráfica, interpretación geométrica y aplicaciones en la resolución de problemas de la vida cotidiana; Collaguazo, Muso y Rubio10 trabajan la manera de simplificar el estudio de un problema simple en su interacción didáctica (la Conjetura de Collatz), empleando el GeoGebra en estudiantes de nivelación; Anchundia y Bolaños11 muestran la noción gráfica de la integral empleado en el cálculo de áreas y volúmenes con ayuda de los recursos de GeoGebra, un tema de mucha complejidad para los estudiantes. Desde una perspectiva multidisciplinar se presentan los siguientes textos: Bravo y Tacuri12 aplican a modelos matemáticos la descripción de situaciones reales “analizando el problema de los puentes de Königsberg, el cual consiste en cómo cruzar cada uno de los siete puentes que conectan cuatro islas sin recorrer un mismo puente dos veces”; Dumaguala y Maldonado13 basado en GeoGebra, modelan y visualizan estructuras moleculares en 3D que “permite a los estudiantes una mejor comprensión de la geometría representativa de cada molécula”, ofreciéndoles la posibilidad de observar las moléculas en el espacio; Vázquez y Troya14 mediante la aplicación del software en el conocimiento de figuras abstractas “logran sistematizar un proceso mediante el cual la determinación de un centro de gravedad de un cuerpo 5  Steven Vicente Piñán Suarez y Melany Maribel Ananganó Alvarado. “Enseñando transformaciones de funciones mediante el uso de GeoGebra”. 6  Adriana Maldonado y Juan Francisco Mejía . “Una nueva mirada al desorden”. 7  Carlos Gonzalo Morales Figueroa. “Recursos interactivos de operaciones aritméticas en el conjunto de los números enteros con el software GeoGebra”. 8  Nereida de los Santos Manzueta y Diolvi Marmolejos Rodríguez. “Evaluación del impacto de GeoGebra en la motivación estudiantil”. 9  Abdul Abner Lugo Jiménez, Noelia Méndez Cuevas, Manuel Rosario. “Entendiendo el concepto de la derivada desde su representación gráfica con GeoGebra”. 10  Anderson David Collaguaso Chorlango, Marjorie Aracely Muso Tandalla y Jhastin Alejandro Rubio Amaya. “Una introducción a la conjetura de Collatz usando GeoGebra”. 11  Alisson Andrea Anchundia Arreaga y Sebastián Oswaldo Bolaños López. “Una perspectiva didáctica con GeoGebra de los métodos numéricos para la aproximación de integrales en el cálculo de volúmenes”. 12  Fabián Andrés Bravo Vaca y Ariel Ismael Tacuri Valencia. “Los puentes de Königsberg, una puerta al razonamiento matemático”. 13  Alba Aurora Dumaguala Encalada y Pedro José Maldonado Ulloa. “GeoGebra como recurso didáctico para graficar geometría molecular”. 14  Marco Vinicio Vásquez Bernal y Rosa Ildaura Troya Vásquez. “GeoGebra y la determinación de centros de gravedad de polígonos”. 14 irregular puede lograrse partiendo de la triangulación de una figura geométrica irregular con triángulos”. En los Talleres se describen otros temas de enseñanza de las matemáticas como formas de conocer el mundo mediante el empleo de este software, entre ellas, las funciones polinómicas15, el desarrollo del pensamiento lógico16, construcción de objetos matemáticos17,18 y la solución de teoremas para la profundización en el currículo de estudiantes de nivel medio superior19. Finalmente, el libro concluye con las Experiencias de aprendizaje en el desarrollo de competencias digitales en la enseñanza de las matemáticas20, 21; es aplicado a otras ciencias como la geografía (el cálculo de la “precipitación media de una cuenca hidrográfica empleando el método de los polígonos de Thiessen empleando el software GeoGebra)22 y de la física23, mediante un manual interactivo como aporte pedagógico elaborado con la finalidad de motivar y mejorar el proceso enseñanza y aprendizaje de los estudiantes. Agradecemos a los compiladores y autores de los textos aquí publicados, la creatividad desplegada en la aplicación del software GeoGebra, los cuales han enriquecido los métodos y la metodología de enseñanza de las matemáticas, y su vínculo multidisciplinar, en virtud del desarrollo cognoscitivo y epistemológico de las ciencias en el Ecuador. El texto evidencia que fue construido por docentes con alto nivel científico y académico, que además conocen muy bien las ciencias que enseñan, desde un enfoque interdisciplinar, y utilizando herramientas que brinda el software de GeoGebra que favorecen la inclusión y el trabajo cooperativo No quiero cerrar el prólogo de esta maravillosa obra sin dejar un reconocimiento al matemático Dr. Marco Vinicio Vásquez, director del Instituto Ecuatoriano de GeoGebra – IEG con sede en la Universidad Nacional de Educación y al grupo académico EUREKA 4i, quienes ha compulsado el uso de la GeoGebra en el Ecuador. 15  Rosa Mariela Feria Granda. “Características de las funciones polinómicas mediante la utilización del GeoGebra”. 16  Diana Isabel Rodríguez Rodríguez, Viviana Catalina Punín Ortiz y Andrea Paola Cuzco Cumbe. “Actividades didácticas para el desarrollo del pensamiento lógico matemático con GeoGebra”. 17  Abdul Abner Lugo Jiménez y Ureña, Recinto Emilio. “Construcciones de objetos matemáticos usando GeoGebra”. 18  Hugo Fernando Encalada Segovia. “Fundamentos teóricos de la animación de objetos geométricos en GeoGebra”. 19  José Enrique Martínez Serra, Germán Wilfrido Panamá Criollo y Arelys García Chávez. “Algunos teoremas para la profundización en el curriculum del bachillerato ecuatoriano”. 20  Edison Santiago Terán Rocha. “Desarrollo de competencias digitales en la didáctica de matemáticas”. 21  Jorge Leodán Obaco Jaramillo. “Creación de actividades dinámicas con el uso de GeoGebra”. 22  Ángel Andrés Valencia Ordóñez. “Precipitación media mediante el método de polígonos de Thiessen”. 23  Byron David Díaz Chicaiza. “Manual interactivo del software GeoGebra en física para vectores”. CONFERENCIAS 17 GeoGebra Classroom y metodologías híbridas en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas GeoGebra Classroom and hybrid methodologies in the teaching and learning of mathematics Abdón Pari Condori Karsten Seelbach Círculos de Festivales Matemáticos- CYFEMAT apariducho@gmail.com Goethe-Schule-Harburg kseelbach@gmx.de Resumen Con la introducción de GeoGebra Classroom y las metodologías hibridas en el entorno educativo, el proceso de enseñanza aprendizaje ha experimentado una transformación que favorece y facilita el acceso al conocimiento del estudiante de forma flexible, dinámica y personalizada. El objetivo de esta conferencia fue exponer una experiencia colaborativa entre los autores, para motivar a los estudiantes, profesores e investigadores en educación matemática de los diferentes niveles del sistema educativo a la implementación esta plataforma en la clase de Matemáticas. GeoGebra se ha convertido en un software estrella por su capacidad de integrar de forma dinámica Geometría, Algebra, Análisis y Estadística; además, de GeoGebra Notas y últimamente el GeoGebra Classroom. Se ha traducido en más de setenta idiomas. Ambos autores cuentan con experiencias de implementar GeoGebra, aunque en contextos diferentes como Ecuador, Bolivia, España y Alemania. Palabras clave: GeoGebra, classroom, educación, matemática, didáctica y formación. Abstract With the introduction of GeoGebra Classroom and hybrid methodologies in the educational environment, the teaching and learning process has undergone a transformation that favors and facilitates access to student knowledge in a flexible, dynamic and personalized way. The objective of this conference was to expose a collaborative experience between the authors, to motivate students, teachers, and researchers in mathematics education at different levels of the educational system to implement this platform in the mathematics classroom. GeoGebra has become a star software for its ability to dynamically integrate Geometry, Algebra, Analysis and Statistics. In addition, GeoGebra Notes and lately GeoGebra Classroom. It has been translated into more than seventy languages. Both authors have experiences of implementing GeoGebra although in different contexts such as Ecuador, Bolivia, Spain and Germany Keywords: education, mathematics, science, didactic, pedagogy, development. 18 Introducción El aprendizaje mediado por tecnologías ha sido objeto de diferentes estudios y en particular en el campo de la educación matemática. Las tecnologías de la información y de comunicación (TIC) son herramientas de alto impacto para la cobertura, la pertinencia y la mejora de la calidad educativa en todos los niveles y tipos de formación y han asumido un rol protagónico en la actualidad (Pari y Auccahuallpa, 2022, Pari, et al, 2020). Para Markus Hohenwarter la tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática (Hohenwarter y Hohenwarter, 2009). Mientras que, para Flores y colaboradores (2021) las tecnologías actuales pueden ser: “caracterizados por su simultaneidad, instantaneidad, interactividad, asincrónica y ubicuidad, han abierto un nuevo abanico en las oportunidades y demandas en la educación” (p. 30). El debate académico actual se ha centrado, casi exclusivamente, en la implementación, la optimización y la evaluación del uso de las tecnologías en el aula. Sin embargo, son pocos los estudios empíricos basados sobre la implementación de GeoGebra Classroom en el aula de matemáticas con un método de aprendizaje colaborativo de forma internacional multicultural y multilingüe. En esta conferencia los autores quieren compartir con los participantes ya sean estudiantes, profesores de matemática o investigadores de en educación matemática. Cabe aclarar que, ambos autores cuentan con experiencia en el uso software GeoGebra y consideran que los estudiantes pueden beneficiarse de diferentes formas de integración del GeoGebra, nuevas oportunidades de aprendizaje que promueve en los estudiantes diferentes habilidades matemáticas y niveles de entendimiento en base a la visualización y exploración de objetos y conceptos matemáticos de forma interactiva, creativa y atractiva. Por otro lado, se han planteado la fundamentación didáctica de la enseñanza de la matemática con el uso de las tecnologías y el aprendizaje colaborativo en base a la retroalimentación dialógica y a las lecturas reflexivas de la literatura disponible en este campo. El objetivo fue compartir el análisis de una experiencia educativa de implementación de GeoGebra Classroom con estudiantes universitarios de Bolivia y Bachillerado de Hamburgo con la metodología de aprendizaje colaborativo desde los docentes y los estudiantes. Marco teórico Las relaciones funcionales se pueden describir en diferentes formas de representación. Por ejemplo, se puede describir un viaje en automóvil con palabras. Para otras preguntas, sin embargo, es más apropiado mostrar la distancia recorrida en función del tiempo en una tabla de valores, un gráfico de función o una ecuación de función. Los alumnos pueden comprender más profundamente las relaciones funcionales y resolver problemas si las describen usando diferentes formas de representación y pueden cambiar entre estas formas de representación. “Ideas fundamentales” (en alemán Grundvorstellungen) es concepto didáctico de matemáticas popular en Alemania o desarrollada por Hofe (1992). Las ideas fundamentales representan conceptos abstractos y permiten conexiones entre matemáticas y situaciones de aplicación. Según Vollrath (1989), existen tres ideas 19 fundamentales sobre las relaciones funcionales: función como asignación, función en aspecto de cambio y función como objeto. Asignación: una función describe una conexión entre dos variables: a una variable se le asigna una segunda variable que depende de ella. Cambio: Una función muestra qué efecto tiene cambiar la variable independiente sobre su variable dependiente. Vista como un todo: los pares de valores individuales ya no son de interés, sino la función como un objeto completo. Tratar con formas de representación de funciones y cambiar entre ellas permite a los estudiantes desarrollar esas ideas fundamentales. Para desarrollar ideas básicas, es importante averiguar diferentes formas de representación y cambiar entre las formas de representación (Roth e Lichti, 2021). Para promover el desarrollo del concepto cambio y función como objeto, las simulaciones pueden ser incluso más adecuadas que los experimentos inactivos. (Lichti, 2018). Según Rolfes (2018) las formas dinámicas de representación (como GeoGebra) tienen una influencia significativamente mayor en el desarrollo del pensamiento funcional que las representaciones estáticas. En nuestras lecciones, hemos tenido la experiencia de que cuando los estudiantes han aprendido el principio de las formas de representación y el cambio de representación, también pueden usar esto como una herramienta de método en nuevas situaciones de aprendizaje, por ejemplo, al trabajar las reglas de derivación con GeoGebra de forma independiente. El uso de GeoGebra permite a los estudiantes examinar relaciones funcionales de manera dinámica y permite la representación de relaciones funcionales en las formas de representación de tablas de valores, gráficos de funciones y ecuaciones de funciones. Metodología Esta conferencia se desarrolló bajo una metodología cualitativa-descriptiva de la práctica pedagógica de la enseñanza de las matemáticas por los autores sobre el uso de GeoGebra y GeoGebra Classroom como un recurso para fomentar la interactividad, creatividad, dinámica e inclusiva de los estudiantes tanto en la modalidad presencial como en el modalidad virtual en distintos niveles y distinto contextos, incluso en distintas lenguas, a través de cuatro fases: 1) se busca la fundamentación pedagógica didáctica de las diferentes representaciones, 2) el uso de GeoGebra, 3) el uso de GeoGebra Classroom, y 4) el análisis reflexivo y analítico de la experiencia. Resultados GeoGebra Classroom (GC) o Aula GeoGebra (AG), creado recientemente como recurso para fomentar la participación activa e inclusiva de los estudiantes de diferentes niveles (Zöchbauer y Hohenwarter, 2020). Además, el conjunto de todas estas plataformas asociadas a GeoGebra está potenciando y llevando más allá las capacidades de este software, acercando a sus características de un Sistema de Gestión de Aprendizaje (SGA) del Learning Management System (LMS), haciendo 20 que el software junto con sus plataformas asociadas, un ecosistema amigable con potencial de eficacia para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y ciencia. GeoGebra Classroom es una plataforma virtual a través del cual los profesores pueden asignar tareas interactivas a grupos de estudiantes, ver el progreso de su trabajo en tiempo real, ver todas las respuestas de los estudiantes al instante y puede anonimizar sus nombres al mostrar respuestas a las preguntas. La plataforma permite que el profesor pueda individualmente o en colaboración con otro colega, para integrar tareas que se utilizarán de forma sincrónica o sincrónica. Una tarea puede integrar aplicaciones GeoGebra, preguntas abiertas o de opción múltiple, textos, vídeos, enlaces web para compartir con él se comparta con el grupo de estudiantes (De Sá Reis y Dos Santos, 2022). A partir desde 2021, esta plataforma permite que más de un profesor pueda observar el Classroom, puede asignar tareas de grupo para trabajar en colaboración. En nuestra opinión la mayor ventaja del GeoGebra Classroom reside en el uso sincrónico, porque el profesor puede ver en tiempo real las construcciones de sus alumnos en las aplicaciones de GeoGebra, las respuestas dadas a las preguntas, la frecuencia gráfica de las respuestas en el caso de las preguntas de opción múltiple. A continuación, presentamos una clase programada en GeoGebra Classroom con cinco tareas y donde se han conectado 77 estudiantes, identificados por números. Esto es útil a la hora de anonimizar a los participantes a la hora de dar la repuesta. Figura 1. Una clase programada en GeoGebra Classroom Para que los estudiantes puedan acceder a esta clase, el docente debe compartir el enlace https://www.geogebra.org/classroom/ytearxxq o el código YTEARXXQ. Los estudiantes no necesitan tener una cuenta en GeoGebra. 21 El dispositivo ofrece una visión general de todas las tareas o de algunas de ellas al profesor. La visión general de la puesta en marcha ofrece en tiempo real de lo que están haciendo los participantes. La vista general de las tareas ofrece al profesor una guía del progreso general de la clase a través de una barra de estado que se actualiza a medida que los estudiantes introducen las tareas. La vista general de las tareas orienta al profesor sobre el progreso general de la clase a través de una barra de estado que se actualiza a medida que los alumnos introducen las tareas (De Sá Reis y Dos Santos, 2022). Figura 2. La barra de estado del progreso de los estudiantes La visión general de cada una de las tareas permite ver lo que los estudiantes están logrando en esa tarea, dando al profesor la oportunidad de tener una visión de conjunto que le permita decidir la prioridad y la respuesta que se debe dar a un estudiante en particular (Ver Figura 2). Figura 3. La visualización dinámica de la recta tangente con GeoGebra Para resolver de forma independiente la regla de la derivada de las funciones de potencia, los estudiantes pueden usar el siguiente applet de GeoGebra. 22 En este applet los estudiantes pueden ingresar una expresión de función. Usando una regla de cálculo, examine la pendiente de la tangente en diferentes puntos en el gráfico de la función. Los estudiantes ingresan estos valores en la tabla de valores. Los pares de valores se muestran automáticamente en la segunda ventana gráfica. A partir de los pares de valores, los estudiantes pueden sacar conclusiones sobre la ecuación de la función (o al menos el grado de la función) de las derivadas. El papel del docente no tiene que concentrarse en la pura transferencia de conocimientos, sino que puede apoyar a los alumnos como un compañero de aprendizaje. Resultados El uso de GeoGebra permite a los estudiantes examinar relaciones funcionales de manera dinámica y transformar las representaciones de las relaciones funcionales de una representación a otra, como la representación de tablas de valores, gráficos de funciones y ecuaciones de funciones. Además, GeoGebra Classroom, permite al profesor desarrollar las clases en forma presencial o virtual. En caso de la modalidad virtual, puede ser desarrollada la clase en forma sincrónica o asincrónica, de manera creativa, flexible, dinámica y personalizada. Permite al docente una visión general de las clases, pero también individualizada. Referencias De Sá Reis. I. M. y Dos Santos, J. M. (2022). GeoGebra Classroom, em período de con- finamento, no ensino e aprendizagem das propriedades dos quadriláteros. Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, 11(1), p. 118-136. Flores, M.J., Ortega, M.C. & Sánchez, M.C (2021). Las nuevas tecnologías como es- trategias innovadoras de enseñanza-aprendizaje en la era digital. Revista Electrónica Interuniversitaria de Formación del Profesorado, 24(1), 29-42. Hofe, R. V. (1992). Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell. GhK. Hohenwarter, J. & Hohenwarter, M. (2008). Introducing Dynamic Mathematics Soft- ware. En Journal Of Computers in Mathematics and Science Teaching, 28 (2), 135-146. Hohenwarter, J. H. M. &. Hohenwarter, L. Z. (2009). Introducing dynamic mathemat- ics software to secondary school teachers: The case of GeoGebra. Of Comput- ers in Mathematics. Lichti, M. (2018). Funktionales Denken fördern: Experimentieren mit gegenständli- chen Materialien oder Computer-Simulationen (Landauer Beiträge zur math- ematikdidaktischen Forschung) (1. Aufl. 2019 Aufl.). Springer Spektrum.Pari, A., Mendoza, D.J., Auccahuallpa, R. (2020) GeoGebra as a Technological Tool in the Process of Teaching and Learning Geometry. In: Rodriguez Morales G., Fonseca C. E.R., Salgado J.P., Pérez-Gosende P., Orellana Cordero M., Berrezu- eta S. (eds.) Information and Communication Technologies. TICEC 2020. Com- munications in Computer and Information Science, vol 1307. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-62833-8_20 23 Pari, A. y Auccahuallpa, R. (2022). Implementación del GeoGebra por el profe- sorado ecuatoriano en la enseñanza de matemática. Caminhos da educação matemática em revista (online) 12(2), 1- 18. Pari, A., Mendoza, D. J. & Auccahuallpa, R. (2020). GeoGebra as a Technological Tool in the Process of Teaching and Learning Geometry. In: Rodriguez, G., Fon- seca, E. R., Salgado, J. P., Pérez, P., Orellana, M. y Berrezueta, S. (eds) Infor- mation and Communication Technologies. TICEC 2020. Communications in Computer and Information Science, vol 1307. Springer, Cham. https://doi. org/10.1007/978-3-030-62833-8_20 Rolfes, T. (2018). Funktionales Denken: Empirische Ergebnisse zum Einfluss von statischen und dynamischen Repräsentationen (Landauer Beiträge zur math- ematikdidaktischen Forschung) (1. Aufl. 2018 Aufl.). Springer Spektrum. Roth, J. & Lichti, M. (2021). Funktionales Denken entwickeln und fördern. Mathema- tik lehren https://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/2021/Roth_ Lichti_2021_Funktionales_Denken_entwickeln_und_foerdern.pdf Vollrath, H.-J. (1989). Funktionales Denken. – In: Journal fürMathematikdidaktik 10(1), S. 3 – 37. Zöchbauer, J., & Hohenwarter, M. (2020, February). Developing a collaboration tool to give every student a voice in a classroom discussion. In Seventh ERME Topic Conference on Language in the Mathematics Classroom. https://hal. archives-ouvertes.fr/hal-02970629/document 25 GeoGebra como puente de comunicación entre la Matemática y la Biología GeoGebra as a communication bridge between Mathematics and Biology María del Socorro Valero Cázarez Centro Nacional de Actualización Docente, DGETI, MÉXICO mariadelsocorrovalerocazarez@gmail.com Resumen El objetivo de esta actividad es abordar un tema del ámbito de la Biología desde la perspectiva de la Matemática escolar con estudiantes que cursan Cálculo en el bachillerato usando la tecnología de GeoGebra y, en ella, se observa al fenómeno de la maternidad precoz como un problema que expresa desigualdad al presentarse más en los estratos sociales bajos en comparación con los altos. México tiene la mayor tasa de natalidad en mujeres adolescentes de todos los países miembros de la OCDE. Es por ello que, diferentes organismos internacionales propusieron el uso del partograma como una medida capaz de reducir las muertes maternas. Representa una estrategia eficaz y un documento médico legal en México. En el diseño del applet se presenta un partograma aprovechando los poderosos recursos expresivos de GeoGebra para enriquecer los significados del gráfico de una función exponencial–logística que relaciona la Dilatación Cervical con el tiempo. Palabras clave: cálculo, biología, función, logística, partograma. Abstract The objective of this activity is to address a topic in the field of Biology from the perspective of school Mathematics with students who are studying Calculus in high school using GeoGebra technology and, in it, the phenomenon of early motherhood is observed as a problem. that expresses inequality by appearing more in the lower social strata compared to the higher ones. Mexico has the highest birth rate in adolescent women of all OECD member countries. That is why different international organizations proposed the use of the partograph as a measure capable of reducing maternal deaths. It represents an effective strategy and legal medical document in Mexico. In the design of the applet, a partogram is presented taking advantage of the powerful expressive resources of GeoGebra to enrich the meanings of the graph of an exponential-logistic function that relates Cervical Dilation with time. Keywords: calculus, biology, function, logistics, partograph. Antecedentes La maternidad precoz es un problema que expresa desigualdad al presentarse más en los estratos sociales bajos en comparación con los altos. México tiene la mayor tasa de natalidad en mujeres adolescentes de todos los países miembros de la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE): 62 embarazos por cada 1.000 son de niñas y adolescentes. Pese a que entre los años 2000 y 2006 26 se logró una reducción de más del 8%, entre el 2007 y el 2012 el incremento llegó casi al 15%. En 2017, dos de cada diez nacimientos en México eran de una mujer menor de 20 años . El embarazo adolescente es la causa principal de mortalidad en niñas entre los 15 y 19 años en el mundo. El 90% de las muertes ocurren en países en vías de desarrollo, como México y el resto de Latinoamérica, y la mayoría de estas, son prevenibles. Elementos STEM En este proyecto se promueve una visión STEM del aprendizaje, acrónimo de Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas en inglés, ya que éste comprende el desafío de integrar áreas del conocimiento que tradicionalmente en nuestras escuelas han estado completamente aisladas (Araya, 2015). El docente de Biología no quiere saber nada de Matemáticas y no visualiza su potencial para sus clases. Por otra parte, el docente de Matemáticas tampoco vislumbra en dónde podría usar la matemática para ayudar a entender la Biología. El docente de Tecnología piensa en utilizar algunos videos, internet o softwares. En Ingeniería no está en el currículum. Por lo tanto, es considerada como completamente ajena a la escuela. Por esto STEM integrado en la educación es un gran desafío. La modelación es la herramienta que conecta ambos mundos (Araya, 2012): el de la ciencia y el de la matemática. Aquí reside la oportunidad de hacer la integración. Algunos elementos de la Modelación Matemática Blum y Borromeo (2009) se preguntan: ¿por qué es tan importante la modelación para los estudiantes? Los modelos matemáticos y la modelación están a nuestro alrededor, a menudo en conexión con potentes herramientas tecnológicas. Preparar a los estudiantes para una ciudadanía responsable y para participar en desarrollos sociales requiere que desarrollen competencias de modelación. Consideramos a esta visión, acorde con la realidad que vivimos. Según Blum y Borromeo (2009) la modelación matemática está destinada a • ayudar a los estudiantes a comprender mejor el mundo; • apoyar el aprendizaje de las matemáticas (motivación, formación de conceptos, comprensión, retención); • contribuir al desarrollo de diversas competencias matemáticas y actitudes apropiadas; • contribuir a una imagen adecuada de las matemáticas (pág. 3). Al modelar, las matemáticas se vuelven más significativas para los alumnos. Subyacentes a todas estas justificaciones de modelación están los objetivos principales de la enseñanza de las matemáticas en las escuelas preuniversitarias. En México, por ejemplo, Ponce-Campuzano (2013) encuentra al trabajar con estudiantes de un bachillerato que las herramientas dinámicas proporcionan múltiples representaciones sobre las cuales los estudiantes pueden anclar su comprensión. Concluye que la herramienta dinámica GeoGebra les permite visualizar conexiones de distancia, velocidad y aceleración con escenarios del mundo real, 27 haciendo posible que las múltiples perspectivas promuevan así representaciones de imágenes dinámicas del Teorema Fundamental del Cálculo. Por su parte, Briseño y Cordero (2008) analizaron una situación de modelación de movimiento con estudiantes quienes explicaron la variación a través de la gráfica obtenida; ellos hicieron un uso de la gráfica a través de su funcionamiento y forma. Su proyecto de investigación entendió el papel que juega la tecnología en el conocimiento matemático del estudiante en la situación, al encontrar que el estudio del “uso de las gráficas” permitió explicar cierto tipo de matemática. Todo lo que apuntan estos autores, destaca la relevancia que tiene la modelación en los procesos de aprendizaje de la matemática y los roles que ésta cumple. En su ausencia, es difícil alcanzar los objetivos planteados en los diferentes currículos escolares. Sobre el Pensamiento y Lenguaje Variacional Por otra parte, Cantoral (2019), dice: sabemos que para procesar el cambio se requiere de cierta evolución, una dinámica que sea expresada mediante estados y comparaciones. La distinción de un estado respecto de otro se establece por comparación, por tanto, se requiere de un sistema de referencia que lo permita. Este proceso lleva al reconocimiento de lo igual y a descubrir ahí mismo, lo diferente. Estos aspectos de tipo cualitativo se revelan en el mundo cotidiano que nos rodea; pero su cuantificación e instrumentación, precisan de la intermediación cultural y de los sistemas de razón convenidos. Este paso de lo cualitativo a lo cuantitativo exige de una nueva noción que organice y amplíe la experiencia previa, la variación, cuya primera acepción será la medición del cambio. Sin embargo, ésta a su vez requiere de la identificación de un sistema de referencia variacional y de una unidad de medida. La variación exige, además, de la conservación de aquello por medir durante el proceso de cambio. Son esos elementos invariantes los que dan inicio, a la generalización y a una caracterización amplia de la variación. Pero, sobre todo, esta manera de trabajar exige de una forma de pensamiento particular al que denominamos pensamiento y lenguaje variacional (p. 20). El pensamiento y lenguaje variacional nos brinda una orientación clara en los procesos de modelación matemática del cambio. Nos señala elementos fundamentales tales como ideas de estados, prácticas de comparación, reconocimientos de sistemas de referencia y la noción de variación como medición del cambio. El uso del enfoque variacional permite establecer una relación epistemológica entre modelación y los aspectos variacionales en la construcción del conocimiento matemático. Acerca de la problemática abordada Se ha estimado que en países en vías de desarrollo ocurren poco más de 250 000 muertes maternas al año debido a complicaciones prevenibles que se producen durante el trabajo de parto. La Organización Mundial de la Salud ha estimado que los trastornos por paro o reducción de las contracciones en el trabajo de parto representan 8% mundial como causa de defunciones. Es por ello por lo que el Banco Mundial de la Salud, la Norma Oficial Mexicana NOM-007-SSA2-1993 y otros organismos internacionales propusieron el uso del partograma como una medida capaz de reducir en 50% las muertes maternas durante la década de los años 90. Representa una estrategia eficaz, simple de utilizar y un documento médico legal en México, que es indispensable usar en cualquier paciente que se encuentre en trabajo de parto. 28 El entorno escolar Los estudiantes que en el nivel bachillerato toman el curso de Cálculo Diferencial, tienen un promedio de edad entre 16 y 18 años. ¿Podemos, en este contexto, realizar alguna actividad de aprendizaje relacionada con la problemática antes mencionada, que contribuya a crear conciencia sobre las consecuencias de esta situación entre nuestra población estudiantil y que, a su vez, permita mejorar los aprendizajes de los contenidos de un curso de Cálculo de bachillerato? Contenidos del curso de Cálculo presentes en esta actividad Comportamiento Exponencial (Logístico) Dominio Imagen Análisis Gráfico de Funciones Velocidad de cambio Punto de Inflexión Relación entre la gráfica de la función Dilatación Cervical vs. tiempo y Velocidad de Cambio de la Dilatación Cervical vs. tiempo Acerca de la Actividad Se diseñó un documento para la puesta en escena de la actividad (https:// www.geogebra.org/m/qcnzmjsp#material/mnrzmtsb) y se construyó un applet en GeoGebra (https://www.geogebra.org/m/qcnzmjsp#material/jjuh73yh) que con- siste en un gráfico exponencial–logístico cuyas variables son la Dilatación del cuello uterino y el tiempo del parto. En este gráfico se distinguen las diferentes fases del parto identificadas médicamente: Fase latente, Fase de aceleración, Fase de máxima pendiente y Fase de desaceleración. Cada uno de los parámetros de la función son controlados por los (las) estudiantes a través de deslizadores y, el control del applet se hace a través de un botón. Figura 1. Velocidad de la dilatación vs tiempo Así mismo, se analizan la gráfica de la Velocidad de la Dilatación vs. tiempo (derivada de la función original, https://www.geogebra.org/m/qcnzmjsp#material/ 29 jnyb6cwp) y el dinamismo del applet facilita la comprensión de la relación entre los dos gráficos. Además, en el costado izquierdo de la pantalla se incluyen imágenes de la ubicación del bebé en el vientre materno en cada una de las fases identificadas en el partograma. Estas imágenes van cambiando automáticamente a medida que el tiempo transcurre y se van sucediendo las diferentes fases del alumbramiento. Se agrega también el registro automático de los valores de las variables en la hoja de cálculo presente de forma tal, que el estudiante dispone de la representación pictórica, gráfica, numérica y simbólica de un evento fundamental de todo ser humano gracias a los potentes recursos expresivos de GeoGebra. Figura 2. Diagrama de dispersión de Dilatación vs tiempo Figura 3. Dilatación cervical Resultados El proyecto, si bien ya se ha trabajado con algunas poblaciones de estudiantes, aún no se ha realizado un análisis cuantitativo de los resultados. Sin embargo, se puede adelantar que, las reacciones de las (los) estudiantes expresan un gran interés por el fenómeno y además que, como consecuencia de que el foco de atención desde el inicio del curso fue el comportamiento gráfico de las funciones (lineales, cuadráticas, cúbicas, racionales, periódicas y logísticas) y los aspectos variacionales de las mismas (por ejemplo, si la gráfica de la función sube es creciente y su velocidad de cambio es positiva; si la gráfica de la función baja es decreciente y su velocidad de cambio es negativa) pudieron comprender, cualitativamente, la relación entre 30 los dos gráficos presentes en la Figura 3, los cuales representan la gráfica de una función y la gráfica de su derivada. Se tiene pendiente un análisis riguroso de las producciones de las (los) estudiantes. Referencias Araya, R. (2015). STEM y modelamiento matemático. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, (15), 291-317. https://revistas.ucr. ac.cr/index.php/cifem/article/view/23838/24006. Araya, R. (2012). Introducing Mathematical Modeling skills in the curriculum. In Mathematical Modeling course in Mathematics curriculum: some best practices in APEC economies. https://publications.apec.org/publication-detail.php?- pub_id=1362. Blum, W. & Borromeo Ferri, R. (2009). Mathematical modelling: Can it be taught and learnt? Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(1), 45–58. Briseño, E y Cordero, F. (2008). La génesis instrumental en una situación de model- ación del movimiento. En P. Lestón. (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemáti- ca Educativa (pp. 983–992). Comité Latinoamericano de Matemática Educa- tiva A. C. http://funes.uniandes.edu.co/5075/1/Brice%C3%B1oLagenesi- sALME2008.pdf Dueñas, O. y Beltrán, J. Curvas de trabajo de parto y uso del partograma. https:// accessmedicina.mhmedical.com/content.aspx?bookid=1756§ion- id=121619283 Cantoral, R. (2019). Caminos del saber. Pensamiento y lenguaje variacional. Editorial Gedisa.  Ponce-Campuzano, J. (2013). Developing prospective mathematics teachers in Mexi- co: a lesson on the relationship between integration and differentiation. Inter- national Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(7), 996–1006. https://doi.org/10.1080/0020739X.2013.826386 Villa, G. y Jiménez, A. (2019). Embarazo adolescente en México: un problema alimen- tado por la inequidad. https://elpais.com/elpais/2019/03/14/planeta_futu- ro/1552580422_784534.html PONENCIAS 33 Educación híbrida, comunidades de aprendizaje y GeoGebra Hybrid education, learning communities and GeoGebra Resumen El contexto actual exige al profesorado la búsqueda de modelos, estrategias y recursos que permitan desarrollar los procesos educativos en una multiplicidad de escenarios. Ante este reto la modalidad híbrida como el espacio que articula actividades presenciales y en línea se erige como una alternativa que resalta por la gama de opciones que representa, así como la adaptabilidad a los cambios generados por la situación de emergencia sanitaria. La mediación tecnológica presente en dicha modalidad, aunado a las propiedades que tiene GeoGebra, abre las puertas para que software como este pueda incorporarse de lleno en procesos educativos. Asimismo, reflexionamos sobre la importancia y relación que las comunidades de aprendizaje (convencionales y/o virtuales) tienen en la construcción, así como evolución de GeoGebra aunado a las configuraciones posibles a través de una modalidad híbrida. Palabras clave: educación híbrida, didáctica, comunidades de aprendizaje. Abstract The current context requires teachers to search for models, strategies and resources that allow the development of educational processes in a multiplicity of scenarios. Faced with this challenge, the hybrid modality as the space that articulates face-to-face and online activities stands as an alternative that stands out for the range of options it represents, as well as its adaptability to the changes generated by the health emergency situation. The technological mediation present in this modality, together with the properties that GeoGebra has, opens the doors so that software like this can be fully incorporated into educational processes. Likewise, we reflect on the importance and relationship that learning communities (conventional and/ or virtual) have in construction, as well as the evolution of GeoGebra together with the possible configurations through a hybrid modality. Keywords: hybrid education, didactic, learning communities. Introducción A través de este aporte, se realiza un análisis sobre las posibilidades que GeoGebra brinda en un contexto donde la incorporación de las tecnologías digitales en los procesos educativos sucedió de forma no planificada y que, a lo largo de los últimos dos años a través de la práctica cotidiana, se ha ido ajustando. En este sentido, dentro las múltiples propuestas y modalidades que se trabajaron, como lo Marcos Manuel Ibarra Núñez Universidad Autónoma de Zacatecas marco.ibarra@uaz.edu.mx Yanira Xiomara de la Cruz Castañeda Universidad Autónoma de Zacatecas xiomara@uaz.edu.mx 34 fue la educación a distancia, tanto tradicional como digital, adquiere interés especial la educación híbrida, debido a los múltiples cambios en las condiciones que la emergencia sanitaria, ocasionada para el SARS COV-19, permite hasta el momento. El trabajo realizado es de tipo cualitativo a través de la técnica de investigación documental, misma que puede comprenderse de diversas maneras, entre las que destaca la propuesta por Rojas (2011), quien la considera como un proceso orientado recuperación y procesamiento de información contenida en documentos. Por su parte Ávila (2006) argumenta que “permite obtener documentos nuevos en los que es posible describir, explicar, analizar, comparar, criticar entre otras actividades intelectuales, un tema o asunto mediante el análisis de fuentes de información” (p.50). En este sentido, a través de este proceso investigativo pretendemos generar un panorama sobre las opciones que modelos y metodologías educativas, implementadas durante el periodo de pandemia, pueden potenciar las características que GeoGebra ofrece. Educación híbrida una alternativa para la enseñanza-aprendizaje en la actualidad Para aclarar el objetivo de retomar el aprendizaje híbrido es necesario comprender cuáles son las implicaciones y características que hacen de este modelo una alternativa viable para continuar trabajándose, incluso de manera posterior a la emergencia sanitaria. En este sentido, es pertinente precisar el concepto del modelo híbrido, para ello se desarrollarán algunas propuestas como la mencionada por Ana Berruecos (2020), quien argumenta que este tipo de modelo posee la característica de proporcionar flexibilidad a los procesos educativos al conjuntar elementos tanto de lo presencial como en línea, lo que implicaría el trabajo en espacios físicos o virtuales, síncronos o asíncronos, con recursos analógicos y digitales para la construcción de conocimientos y aprendizajes, así como el desarrollo de habilidades. Existen diversas posturas sobre el concepto de aprendizaje híbrido. Hay quienes lo consideran como un sinónimo de blended learning (b-learning) y del modelo semipresencial, sin embargo, también existe otra postura que propone algunas diferencias, por tal motivo consideramos relevante clarificar las diferencias entre ellos. Como es el caso de García Aretio (2018) quién considera que el b-learning: se trata, no de buscar puntos intermedios, ni intersecciones entre los modelos presenciales y a distancia, sino de integrar, armonizar, complementar y conjugar los medios, recursos, tecnologías, metodologías, actividades, estrategias y técnicas…, más apropiados para satisfacer cada necesidad concreta de aprendizaje, tratando de encontrar el mejor equilibrio posible entre tales variables curriculares (p. 20) Con base en lo anterior podemos apreciar que esta conceptualización se aproxima a la propuesta hecha por Berruecos (2020) y que podrían retomarse de manera indistinta dado los alcances que plantean. Otra visión sobre el modelo híbrido lo argumenta Acuña (2020) quien sostiene que existen algunas diferencias entre el término b-learning y educación híbrida, ya que, en este último modelo, los recursos en línea, estrategias y actividades pretenden sustituir parte del tiempo que se destina originalmente a la clase presencial, ya sea por medio de interacciones síncrona o asíncronas. Por contraparte, el aprendizaje mediante b-learning se constituye con los mismos elementos, pero con la distinción de que los recursos 35 digitalizados no pretenden remplazar los tiempos de las sesiones presenciales (en el aula), estos se contemplan como complementos de lo abordado en dicho espacio físico. No obstante, la propia Berruecos (2020) sostiene que existe diferencia entre lo híbrido y lo semipresencial al considerar que esta última modalidad: se caracteriza por contemplar actividades en línea y actividades presenciales que son independientes entre sí. Por ejemplo, se cita a los estudiantes presencialmente en las instalaciones de la universidad durante un periodo corto (una semana) para realizar trámites, conocer a los docentes y compañeras/os de grupo y/o recibir inducciones. Una vez pasada esta semana, los estudiantes trabajan de manera autónoma las materias que están completamente diseñadas en línea, durante un periodo más largo (3-4 meses) y posteriormente se les pide que regresen a las instalaciones de la universidad para presentar exámenes, realizar trámites finales, etcétera. Lo que trabajan en línea no está relacionado con lo que realizan durante las 2 semanas presenciales. En consecuencia, la modalidad blended podrá abordarse de forma análoga a la propuesta híbrida siempre y cuando se realice desde una perspectiva de un modelo integrado, es decir, que las actividades en línea e individuales del estudiantado estén articuladas con el diseño y ejecución de las actividades presenciales (Berruecos, 2020). En concordancia con lo argumentado, las distinciones analizadas entre la propuesta semipresencial de Berruecos y el b-learning de Acuña, no podrán considerarse como equivalentes ya que, dadas las características descritas, no hay una articulación entre las propuestas para desarrollarse en línea y de forma presencial. Por tal motivo, podríamos considerar sinónimos a los conceptos de educación híbrida y b-learning solo cuando ambos se desarrollen a través de un modelo integrado, caso contrario, concuerda más con la perspectiva semipresencial. Por tal motivo, decimos trabajar únicamente con el concepto de educación híbrida para evitar confusiones. Las posibilidades que brinda la educación híbrida abren la puerta para la construcción de comunidades de aprendizaje tanto de manera física como virtual (mediadas por tecnología), dadas las condiciones ofrecidas por esta modalidad, acompañadas por GeoGebra como elemento articulador, permitirá al estudiantado tener un rol más activo y generar espacios de creación para la comunidad escolar en general. Comunidades (virtuales) de aprendizaje  Con la incorporación de las TIC como elemento mediador principal para la promoción del aprendizaje en los espacios de formación académica virtual como parte del replanteamiento del ejercicio docente a consecuencia de la crisis sanitaria a nivel mundial por SARS COV-19, el sistema educativo encontró más que nunca áreas de oportunidad y se enfrentó a retos que sobreponen las voluntades y capacidades del sector, indudablemente, la falta de infraestructura para el acceso a las tecnologías e internet es muestra de ello; sin embargo, a la par de estas desavenencias, existieron profesores preocupados por su comunidad y, hoy más que nunca, la creatividad y vocación por la profesión ha comenzado a dar frutos. 36 La comunicación síncrona y asíncrona entre grupos de docentes conectados a través de internet, colaborando y participando de manera activa con el propósito de compartir sus experiencias en el diseño (para la mayoría novedoso) de estrategias de enseñanza que promuevan el aprendizaje permitió enriquecer de manera masiva el conocimiento que hasta ese momento se tenía de la potencialidad de prácticas pedagógicas colaborativas mediadas por la tecnología bajo modalidades a distancia. Estas interacciones, donde además son inherentes los aportes de la comunidad estudiantil bajo una nueva forma de comunicación educativa en la que se enfatiza el aprendizaje activo e interactivo, la investigación y la resolución de problemas; dio paso al fortalecimiento de comunidades virtuales. Por consiguiente, GeoGebra se presenta como una alternativa que cubre los aspectos mencionados y que se detallarán más adelante. Podemos considerar las comunidades virtuales como entornos basados en la web que agrupan personas relacionadas con una temática específica que además de las listas de distribución (primer nodo de la comunidad virtual) comparten documentos, recursos, etc. Es decir, explotan las posibilidades de las herramientas de comunicación en internet (Salinas, 2003). Estas comunidades virtuales serán tanto más exitosas, cuanto más estén ligadas a tareas, objetivos o a perseguir intereses comunes juntos. Por otra parte, el término comunidades virtuales de aprendizaje (CVA), es acuñado por Kearsley en 1993 para referirse al uso de redes de computadoras para la enseñanza y el aprendizaje, es concebido como un entorno de comunicación mediada por ordenador en el que independientemente del lugar, se produce interacción asíncrona entre grupos de personas conectados a una red electrónica. Estas redes de aprendizaje permitirían, así, a cualquier persona, en cualquier lugar y en cualquier momento ser un alumno o un profesor, incrementando la relación entre la teoría y la práctica, entre la clase y el mundo real. Este tipo de trabajo, aprendizaje y comunicación simultáneos se define en términos tanto de práctica como de comunidad, o de creación de conocimiento. Aprender una práctica implica convertirse en miembro de una ‘comunidad de práctica’ y así se entiende su trabajo y el hablar desde dentro de la misma. Aprendizaje desde este punto de vista, no es solamente un tema de adquisición de información; se requiere desarrollar la disposición, conducta y perspectiva de los practicantes. Lo anterior permite relaciones más fuertes con objetivos concretos, donde la motivación y el sentido de pertenencia garantizan la trascendencia y éxito colectivo. Según la aproximación dada, existen elementos mínimos para que las CVA puedan existir (García, 2005, p. 4): — Situar a las personas en el centro del aprendizaje. — Permitir un acceso a todos en igualdad de condiciones. — Realizar trabajo colaborativo en grupo. — Facilitar la participación abierta y las estructuras horizontales de funcionamiento. — Avanzar en las innovaciones técnicas necesarias y facilitar herramientas que favorezcan entornos modernos y flexibles. 37 — Promover cambios institucionales que faciliten su desarrollo. — Buscar modelos efectivos para su funcionamiento. El aseguramiento de las condiciones anteriores permite que las ventajas para la comunidad incrementen, ya que se tiene una mayor interacción siendo el diálogo el eje central y teniendo el apoyo de la responsabilidad compartida. Así pues, cuando hablamos de las CVA, hablamos de una propuesta educativa comunitaria, cuyo ámbito de referencia no es sólo la sociedad local y que parte del supuesto de que toda comunidad posee recursos, agentes, instituciones y redes de aprendizaje operando que pueden ayudar al desarrollo personal y social con una adecuada organización. Características fundamentales para el aprendizaje intergeneracional, el respeto hacia la diversidad y la transparencia democrática en procesos y decisiones de un sistema educativo cuyo eje principal es la promoción de una educación de calidad, con pertinencia social. El modelo de trabajo en red para el ámbito educativo es considerado pertinente porque de esta manera, y teniendo las Comunidades Virtuales de Aprendizaje como eje central, el desarrollo tecnológico actual, genera nuevos espacios de interacción y nuevas dinámicas de formación, transformando al aprendizaje en el medio de oportunidad para el desarrollo social, educativo y económico. Por tanto, las características de GeoGebra la facultan para el desarrollo de estas comunidades que, aunado a una educación híbrida podría potenciar los procesos educativos, por ejemplo, Sallán en 2005: Pensamos que no hay mejor antídoto frente a la competitividad, a la segregación, a la desigualdad, etc., que favorecer estos intercambios en el ámbito territorial. Las redes —formales o informales— que proponen este tipo de valores existen y acostumbran a estar mucho más organizadas. Extender redes alternativas, a modo de corrientes de opinión que valoren otras formas de entender la educación —no como promoción, competición o selección, sino como crecimiento y desarrollo personal y colectivo— es sumamente importante en una sociedad que, como hemos afirmado y se ve a simple vista, mantienen un preocupante desconcierto en relación con sus objetivos a medio y largo plazo. A la escuela no le puede suceder lo mismo, y aprender en red creemos que es una buena manera de conseguirlo. (P. 61) De esta manera, y teniendo las Comunidades Virtuales de Aprendizaje como eje central, el desarrollo tecnológico actual genera nuevos espacios de interacción y nuevas dinámicas de formación, transformando al aprendizaje en el medio de oportunidad para el desarrollo social, educativo y económico. Por tanto, las características de GeoGebra la facultan para el desarrollo de estas comunidades que, aunado a una educación híbrida podría potenciar los procesos educativos al tener lo mejor de ambos entornos tanto de lo presencial como de lo digital. GeoGebra y la comunidad Como ya se mencionó, las condiciones originadas por la emergencia sanitaria continúan cambiando de forma constante, por lo que la flexibilidad que GeoGebra aporta, resultado de la capacidad de trabajarse desde distintas plataformas (ya sea en línea o desconectados de ella) convierten a este software libre en una opción interesante para integrarse en prácticamente cualquier modelo educativo. Las 38 alternativas que GeoGebra ofrece son muy amplias y no se supedita únicamente al uso del software para la enseñanza y aprendizaje de la matemática, sino que se extiende al área de las ciencias. Además, cuenta con una gran comunidad: a) física como los institutos de GeoGebra existentes a nivel global; b) virtual como el espacio que se encuentra en el sitio web oficial24 donde se pueden encontrar infinidad de recursos, así como actividades diseñadas y compartidas por la propia comunidad. Sobre la importancia de la comunidad en la evolución y consolidación de GeoGebra, Rubio (2018) argumenta que es fundamental, lo que proporciona un carácter social al software, como resultado de la colaboración de un sin número de personas en la construcción de la misma por medio de actividades de validación y retroalimentación comunitarias, a lo que el propio autor considera que GeoGebra es moldeado socialmente a través de las interacciones sociales en conjunto con las formas de trabajar, apropiarse e incorporar los recursos tecnológicos en espacios educativos (Rubio, 2020). Esto, en términos del autor antes referido, tiene como resultado la generación de distintas versiones del software, representado en una variedad de opciones para trabajar, desde computadoras hasta dispositivos móviles, al igual que recursos educativos abiertos con más de un millón de ellos en una plataforma en línea generados por una comunidad multilingüe (GeoGebra.org, s/f). Un ejemplo de ello es la versión de GeoGebra para dispositivos móviles, que se encuentra disponible para la mayoría de equipos sin importar el sistema operativo que posean; situación que evidencia la flexibilidad que GeoGebra posee para adaptarse a distintos escenarios. Discusión Dicha visión sobre GeoGebra amplía la perspectiva más allá de considerarla como una herramienta, por el contrario, dado el profundo sentido social y comunitario que posee se convierte en un nodo, en términos conectivistas (Siemens, 2010), para la construcción de conocimiento y el desarrollo de habilidades, aplicable a cualquier nivel escolar, en conjunto con las propiedades de la modalidad híbrida desde una perspectiva integral. Los alcances de una propuesta de esta índole otorgan al profesorado un amplio abanico de opciones para aplicar en una diversidad de contextos educativos. Por tal motivo, la incorporación de estrategias, modelos y métodos educativos flexibles, dinámicos, centrados en el estudiantado, como el aprendizaje híbrido y las comunidades virtuales de aprendizaje, en conjunto con GeoGebra, generarán entornos enriquecidos que favorezcan la interacción entre personas e interactividad entre los recursos digitales implementados con el objetivo de potenciar los procesos de enseñanza y aprendizaje. Para concluir, de acuerdo a los temas abordados en este trabajo, podemos apreciar que, la conjunción de la modalidad híbrida, las comunidades (virtuales) de aprendizaje, en adición con GeoGebra, representan una propuesta, por demás, rica en recursos, estrategias e interacciones que amplían en el profesorado la capacidad de dar respuesta a las dificultades que puedan presentarse a futuro, como resultado de una pandemia que no se logra superar o cualquier otra vicisitud. 24  Dirección del sitio oficial: https://www.geogebra.org/ 39 Referencias Acuña, M. (2020). Transformando el aprendizaje mediante la educación virtual. Re- vista EVUlution Uniagustiniana, 8(2619-192X), 37–42. Ávila Baray, H. L. (2006). Introducción a la metodología de investigación (Edición el). https://www.eumed.net/libros-gratis/2006c/203/ Berruecos, A. (2020). ¿De qué hablamos cuando hablamos de Educación a distan- cia híbrida? La Mirada de la Academia. Ibero. https://ibero.mx/prensa/ de-que-hablamos-cuando-hablamos-de-educacion-distancia-hibrida García Aretio, L. (2018). Blended learning y la convergencia entre la educación pres- encial y a distancia. RIED. Revista Iberoamericana de Educación a Distancia, 21(1), 9. https://doi.org/10.5944/ried.21.1.19683 García, A., Pardo, J. C. (2005). Los tiempos escolares virtuales. Cuadernos de Pedagogía, 349, p. 70-75. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1284477 GeoGebra.org. (s/f). Acerca de GeoGebra – GeoGebra. Recuperado el 9 de julio de 2022, de https://www.geogebra.org/about?lang=esKearsley, G. (1993). 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Impulsando la Educación Abierta en Latinoamérica desde la Comunidad GeoGebra Latinoamericana Impulsionando a educação aberta na América Latina a partir da Boosting Open Education in Latin America from the Latin American GeoGebra Community Introducción Geo. 10–25. https:// dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=8084810 Salinas, J. (2003). Comunidades virtuales y aprendizaje digital. Edutec, 54(2), 1-21. https://campus.fundec.org.ar/admin/archivos/3%20conferenciasalinas.pdf Sallán, J. G. (2006). Las comunidades virtuales de aprendizaje. Educar, 37, 41-64. https://www.redalyc.org/pdf/3421/342130826004.pdf Siemens, G. (2010a). Conociendo el Conocimiento (E. Quintanta, D. Vidal, L. Torres, & V. Castrillejo (eds.); 2a ed.). Nodos Ele. https://es.slideshare.net/pdellepi- ane/george-siemensconociendoelconocimientonodosele2010 41 Percepción del profesorado ecuatoriano sobre los desafíos y oportunidades de GeoGebra en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas durante la pandemia del Covid-19 Ecuadorian Teacher Perception on the difficulties and opportunities of GeoGebra in the teaching and learning of mathematics in the pandemic Covid-19 Resumen La investigación fue realizada con un grupo de 144 docentes ecuatorianos que participaron en la capacitación del curso ‘El uso de GeoGebra en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la educación básica’. El enfoque del estudio fue mixto de secuencia exploratoria. El objetivo fue explorar los desafíos y oportunidades que enfrentan los docentes ecuatorianos cuando aplican GeoGebra como recurso didáctico para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas durante la pandemia. Los resultados muestran que entre los desafíos que han enfrentado los docentes en la pandemia del Covid-19 y el uso de GeoGebra en el aula fueron: la brecha digital en el sector educativo (falta de acceso a equipos tecnológicos, internet, y otros), seguido de la falta de capacitación docente sobre el uso de GeoGebra). Entre las oportunidades que han visto los docentes en el uso de GeoGebra responden a las potencialidades del software en la enseñanza- aprendizaje de las matemáticas que están relacionados a herramienta dinámica, innovadora, interactiva y de fácil uso por parte de los usuarios. Palabras clave: percepción docente, desafíos, oportunidades, GeoGebra, educación matemática, docentes. Abstract The research was carried out with a group of 144 Ecuadorian teachers who participated in the training of the course ‘The use of GeoGebra in the teaching and learning of mathematics in basic education’. The study approach was a mixed exploratory sequence. The objective was to explore the challenges and opportunities that Ecuadorian teachers face when they apply GeoGebra as a didactic resource for the teaching-learning of mathematics during the pandemic. The results show that among the challenges that teachers have faced in the Covid-19 pandemic and the use of GeoGebra in the classroom were: the digital gap in the educational sector (lack of Roxana Auccahuallpa Fernandez Universidad Nacional de Educación roxana auccahuallpa@ unae.edu.ec Abdon Pari Condori Universidad Adventista de Bolivia apariducho@gmail.com 42 access to technological equipment, the internet, and others), followed by the lack of teacher training on the use of GeoGebra). Among the opportunities that teachers have seen in the use of GeoGebra, they respond to the potential of the software in the teaching-learning of mathematics that are related to a dynamic, innovative, interactive tool that is easy to use by users. Keywords: teacher perception, difficulties, opportunities, GeoGebra, mathematics education, teachers. Introducción La pandemia del Covid-19 desarrollada en el año 2020 trajo muchos contratiempos en todos los aspectos de la vida, en específico en la educación. Por lo que, la educación mundial, se ha visto afectada por enormes cambios, entre ellos, pasar de una educación presencial a una educación virtual o a distancia (Hurtado, 2020). El caso de Ecuador, no ha sido la excepción, dado que todos los sistemas educativos, se han visto literalmente sacudidos y el profesorado tuvo que enfrentar nuevos retos en este nuevo escenario. Esta fue la nueva realidad de aprendizaje, en la que el docente tuvo que tomar en cuenta que es imposible trasladar la estructura presencial de su forma de enseñanza a un sistema en línea o virtual, no solo por la brecha digital existente en países latinoamericanos, sino el enfrentarse a la geografía del territorio ecuatoriano en el que muchos docentes no logran llegar por la falta de acceso. Por tanto, el sistema educativo y docente ecuatoriano tuvieron que considerar que el uso de los recursos tecnológicos son una herramienta fundamental para generar un proceso de enseñanza y aprendizaje que sea significativo y apoye al estudiantado. En esta iniciativa, el Instituto Ecuatoriano de GeoGebra IEG con sede en la Universidad Nacional de Educación-UNAE fundado en el año 2018 realiza diferentes programas de capacitación a los docentes ecuatorianos en el uso de GeoGebra como recurso didáctico para la enseñanza de la matemática. Esto como parte de cursos de formación continua en forma bimodal: presencial (16 horas) y virtual (134 horas) (Pari, et. al, 2020). Esta preparación se hizo con el propósito de integrar en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas el uso del Software de GeoGebra, como herramienta tecnológica para el aprendizaje de la ciencia, aprovechando las potencialidades de un programa dinámico con funcionalidades que apoyen al estudiante en la comprensión de conceptos matemáticos difícilmente comprensibles para estos. Nos preguntamos ¿Cuáles son las percepciones que tiene el profesorado ecuatoriano sobre los desafíos y oportunidades en el uso del software GeoGebra como recurso didáctico en el aula para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en la pandémica del Covid-19? Por tanto, el propósito de nuestra investigación tuvo como objetivo explorar las percepciones que tiene el profesorado ecuatoriano sobre los desafíos y oportunidades que enfrentan los docentes en el uso de GeoGebra en el aula. Desarrollo Para Markus Hohenwarter creador del software de GeoGebra en el año 2002, este es un programa de matemáticas con diferentes vistas (algebraica, gráfica, CAS, gráfica 3D y Hoja de Cálculo) que le permite tanto al docente como al estudiante interactuar de forma dinámica con el programa los diferentes contenidos de matemáticas. Por su parte, Pari, et al, (2020), señalan que GeoGebra funciona como una herramienta 43 didáctica para visualizar y demostrar conceptos matemáticos que son útiles como medios de aprendizaje. Además, esta herramienta es muy versátil para la enseñanza de las matemáticas y se puede utilizar de muchas maneras diferentes: (1) Como medio de demostración y visualización de ciertos conceptos matemáticos, (2) Como medio de construcción, (3) Como herramienta de descubrimiento, y (4) GeoGebra para la preparación de materiales didácticos. (Arteaga, et. al, 2019). Además, el uso del software permite la comprensión matemática de los estudiantes y estos pueden mejorar sus aprendizajes en la disciplina poco comprensible. Mas aun, en la era de la tecnología se hace indispensable que el docente de matemáticas integre tecnologías de información y comunicación en el proceso de enseñanza y aprendizaje como herramienta de apoyo y con ello garantizar una educación significativa. Por tanto, el aprendizaje de las matemáticas mediante el uso de la tecnología ha sido ampliamente practicado a partir de la era digital, no obstante, GeoGebra, desempeña un papel en la consecución de diversas competencias de los estudiantes (Azizah, 2021) y la comunidad de usuarios ha crecido exponencialmente para el beneficio de los docentes, estudiantes e investigadores en este campo educativo. Metodología En el diseño de investigación se aplicó un método mixto. La muestra fue no probabilística, constituida por 144 (90 hombres y 54 mujeres) profesores que respondieron el cuestionario en línea de forma voluntaria y representan a 20 provincias de las 24 del país. Los docentes participantes corresponden a docentes que fueron capacitados en el curso “GeoGebra como recurso didáctico para la enseñanza y aprendizaje de la matemática en la educación básica”. El instrumento de recolección de información para la investigación fue un cuestionario de 32 items. Estuvo conformado por cuatro partes: la primera corresponde al aspecto sociodemográfico (12 ítems), la segunda sobre la percepción de las dificultades (8 ítems), la tercera parte sobre los retos del uso de GeoGebra en el aula (10 ítems) y la última sobre preguntas abiertas (ventajas y desventajas del uso de GeoGebra en el aula). El cuestionario fue enviado por correo electrónico. Las respuestas que enviaron los participantes se recogen mediante una escala de Likert de 5 puntos. La opción muy baja totalmente en desacuerdo (1) “SD”, en desacuerdo (2) “D”, ni en desacuerdo ni de acuerdo (3) “N”, de acuerdo (4) “A” y totalmente de acuerdo (5) “SA” Resultados y Análisis Para el análisis de la información se utilizó el programa Excel, a continuación, la Fig. 1 muestra la percepción que tienen los docentes sobre las dificultades que han enfrentado en el uso de GeoGebra durante la pandemia. Figura. 1. Dificultades del uso de GeoGebra en la pandemia del Covid-19. 44 Según la Fig.1, el promedio más alto fue corresponde a la “falta de dispositivos tecnológicos” (52.1% - Totalmente de Acuerdo; 35.4% De acuerdo), no obstante, la otra dificultad ha sido la ‘falta de dispositivos tecnológicos en los estudiantes’, esta corresponde a 78.4% como resultado de 45.1% con 33.3%. Mientras que la falta de dispositivos en los docentes es solo el 34.7% (11.8% +22.9%), seguido de la “falta o escasa capacitación de los docentes en el uso de GeoGebra” al 79.1% (44.4%+34.7%). Figura 2. Oportunidades del uso de GeoGebra en la pandemia del covid-19. En cuanto a la percepción de los docentes sobre las oportunidades de GeoGebra, estos consideraron que GeoGebra permite la ‘demostración matemática de conceptos de manera creativa’ (72.9% - TA), seguido de ‘Creación de actividades innovadoras’ (70.8% -TA) y ‘desarrolla el pensamiento crítico’ (70.1% -TA). Por otra parte, para el análisis cualitativo se ha construido un mapa de análisis sobre las ventajas y desventajas del uso de GeoGebra. Esto a partir de las preguntas abiertas del cuestionario en línea. Figura 3. Mapa de análisis sobre las ventajas de GeoGebra. 45 Figura 4. Mapa de análisis sobre las desventajas del uso de GeoGebra. Conclusiones El Covid-19 trajo consigo retos y oportunidades para el campo educativo, dado que los docentes tuvieron que aprender tecnologías de información y comunicación que antes desconocían, incluso tenían que capacitarse en cursos de formación continua que las Instituciones de Educación Superior como las Universidades ofertaron para apoyar al sector educativo en esta nueva realidad. Por lo que, GeoGebra como software educativo gratuito permitió que los docentes integraran como herramienta tecnológica en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La investigación llegó a la conclusión de que las percepciones que tuvieron el profesorado ecuatoriano sobre las dificultades identificadas fue la falta de dispositivos tecnológicos (recursos, internet, equipos, etc.), especialmente para los estudiantes, que coincide con las investigaciones internacionales, seguido de la necesidad de mayor capacitación del profesorado tanto en el uso del software de GeoGebra (en sus diferentes vistas de aplicación). Referencias Agabo, I. S. (2015). Factors influencing the use of Information and Communication Tech- nology (ICT). Teaching and Learning Computer Studies in Ohaukwu Local Gover- nament Area of Ebonyi State-Nigeria. Journal of Education and Practice, 6(7), 71-86. Hurtado Talavera, F. J.(2020). La educación en tiempos de pandemia: Los desafíos de la escuela del siglo XXI. Revistas Venezolanas de Ciencia y Tecnología REVENCYT, 44, 176-187. Pari, A., Mendoza, D. and Auccahuallpa, R. (2020). GeoGebra as a Technological Tool in the Process of Teaching and Learning Geometry. In: Rodríguez, G., Fonseca, C., Salgado, J. Pérez, P. Orellana, M. y Berrezueta, S. (eds) Information and Communication Tech- nology. TICEC2020. Communication in Computer and Information Science, vol. 1307, pp. 258-271. Arteaga Valdés, E., Medina Mendieta, J. F. & Del Sol Martínez J. L. (2019). El GeoGebra: una herramienta tecnológica para aprender matemáticas en la Secundaria Básica haci- endo matemática. Revista Conrado, 15(70), 102-108. Hernández, R., Fernández, C., Baptista, P. (2010). Metodología de la investigación. McGraw Hill, México (2010). 47 Aplicación de GeoGebra en las competencias matemáticas en Educación Inicial Application of GeoGebra in mathematical competences in initial education Resumen La presente investigación tiene como objetivo compartir actividades desarrolladas con la herramienta de GeoGebra en cada una de las competencias matemáticas que se desarrollan en Educación Inicial para el desarrollo del pensamiento lógico. La riqueza didáctica que transmite los conocimientos en la primera infancia se constituye en la base primordial para su proceso educativo matemático. En efecto, se busca generar el interés y la motivación con la utilización de variadas estrategias y, así propiciar espacios de aprendizaje significativo desde la temprana edad, a través del manejo de GeoGebra. Palabras clave: GeoGebra, didáctica, competencias. Abstract The objective of this research is to share activities developed with the GeoGebra tool in each of the mathematical competencies that are developed in Early Childhood Education for the development of logical thinking. The didactic richness to transmit knowledge in early childhood is the primary basis for their mathematical educational process. In fact, the aim is to generate interest and motivation with the use of various strategies and thus promote meaningful learning spaces from an early age, through the use of GeoGebra. Keywords: GeoGebra, didactics, competences. Las competencias matemáticas en Educación Inicial La matemática en el contexto de la Educación Inicial, se expresa como la adquisición de conocimientos para organizar la estructura cognitiva de los infantes. Pues, en esta etapa desarrollan nociones básicas que se atribuyen a saberes matemáticos posteriores y, por qué no decirlo, en un aporte interdisciplinar de calidad. Diana Isabel Rodríguez Rodríguez Universidad Nacional de Educación Ecuador diana.rodriguez@unae. edu.ec Viviana Catalina Punín Ortiz Universidad Nacional de Educación Ecuador vivipunin@hotmail. com Andrea Paola Cuzco Cumbe Universidad Nacional de Educación Ecuador paoccandre12@gmail. com 48 En este sentido, se concentran habilidades y destrezas por desarrollarse en esta etapa que permiten entender, comprender, experimentar y transmitir la matemática para el desenvolvimiento autónomo de los niños y niñas y, por ende, en la solución de problemas que se les presenten en la cotidianidad. Además, se plantean nuevas situaciones que generan conocimientos en los diferentes ámbitos de la sociedad. Los docentes al ser partícipes activos en la transmisión de conocimientos mediante la contribución para desarrollar la inteligencia, sentimientos, emociones y personalidad de los infantes. Se recurre a la aplicación de técnicas, estrategias y actividades que permitan el logro de los objetivos educativos a partir de la generación de variadas situaciones que contextualicen el aprendizaje en la búsqueda de herramientas y, a su vez sensibilicen a los niños en la adquisición de conocimientos matemáticos y los apliquen en su vida diaria. En este horizonte, se trata de fomentar las operaciones lógicas sustanciales como son: la seriación, clasificación y correspondencia de forma simultánea. Con el fin de que se propicien espacios cálidos y amenos en cada uno de los procesos de enseñanza aprendizaje de la matemática en la primera infancia. Una competencia matemática permite al niño ser capaz de razonar y relacionarse con el cómo, cuándo y dónde, de esta manera, se logren soluciones oportunas en la vida cotidiana. Siendo parte activa de las destrezas, contenidos, actitudes, evaluaciones, etc., en este nivel, de allí, el docente debe considerar desde la parte didáctica, transmitir dichos conocimientos de forma comprensiva, creativa y provocativa, mediante la manipulación de objetos, inferencias y herramientas que desarrollen el pensamiento, la lógica y la reflexión en el infante. A continuación, se presentan las competencias matemáticas que los niños y niñas de Educación Inicial deben adquirir para la construcción del número y el desarrollo de la forma, espacio y medida, acorde lo afirma Cardoso y Cerecedo (2008). Competencias en relación a la construcción del número 1)Reunir información sobre criterios acordados, representa gráficamente dicha información y la interpreta. A través de esta competencia se pretende que los elementos presentados con material concreto o pictogramas, sean agrupados en gráficas o cuadros, los cuales se organicen acorde a las particularidades tanto cualitativas como cuantitativas, considerando la forma, tamaño, textura, numerosidad entre otras características propias de los objetos. 2) Identifica regularidades en una secuencia a partir de criterios de repetición y crecimiento. Esta competencia tiene como finalidad identificar y organizar de manera ascendente o descendente un conjunto de elementos con cualidades semejantes, es decir considerando que, si se aumenta uno, dos o más elementos se está estableciendo 49 un orden ascendente y por lo contrario si se elimina uno, dos o más elementos se considera orden descendente. De esta forma, el niño podrá representar y reproducir series numéricas con los diversos objetos de su entorno y así logrará representar secuencias con mayor complejidad. 3) Utiliza los números en situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo. A partir de esta competencia el niño logrará: a) identificar la cantidad de elementos mediante el conteo de un conjunto dado. b) establecer relaciones de igualdad y desigualdad al comparar objetos por correspondencia o por conteo. Una vez el niño haya adquirido estas habilidades será capaz de contar, de manera ascendente a partir del número uno y descendente acorde a sus posibilidades y, además, reconocerá la posición que ocupan los objetos (primero, segundo, etc.). 4) Plantear y resolver problemas en situaciones que le son familiares y que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos. Con esta competencia se pretende que el niño comprenda problemas numéricos presentando los resultados con estrategias propias al representarlos por medio de símbolos o dibujos. Para posteriormente usar el conteo como método de organización de elementos, señalamiento, repartición entre otros y, el sobre conteo a partir de un número dado. Competencias relacionadas con el desarrollo de la forma, espacio y medida 1)Reconocer y nombrar características de los objetos, figuras y cuerpos geométricos. Esta competencia consiste en que, a través de las creaciones propias del niño, él pueda identificar semejanzas y diferencias de los objetos o figuras geométricas realizadas, con la finalidad de que exprese lo que observa al modificarlas (cortar o doblarlas, unir sus partes, etc.). 2)Construir sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial. Con esta competencia se pretende que el niño pueda establecer relaciones de ubicación espacial en torno a su cuerpo con los elementos de su alrededor según su posición: arriba/abajo, dentro/fuera, cerca/lejos, etc., a fin de que pueda a través de indicaciones, desplazarse acorde a las nociones mencionadas. 3) Utilizar unidades no convencionales para resolver problemas que implican medir magnitudes de longitud, capacidad, peso y tiempo con la finalidad de identificar para qué sirven algunos instrumentos de medición. Para esta competencia se consideran los conocimientos previos de los niños acerca de las medidas de los objetos, espacios y personas que se encuentran a su alrededor y cuál sería su herramienta idónea para medir o pesar acorde a su criterio. De igual forma, debe establecer relaciones espaciales narrando hechos o sucesos de su diario vivir, utilizando palabras como: hoy, ayer, mañana, antes y después. 50 Como podemos apreciar el niño desarrollará habilidades y competencias matemáticas que le serán útiles para enfrentar problemas de la vida cotidiana de manera autónoma. Es decir, mediante los conocimientos previos sobre su entorno, la observación, el análisis y la reflexión logrará estructurar sus esquemas mentales que son la base fundamental para los niveles superiores a los cuales se enfrentará en el futuro. GeoGebra y su aplicación para el desarrollo de competencias GeoGebra es un recurso interfaz que permite a los estudiantes aprender de una manera reflexiva y crítica sobre la interacción que realiza con las actividades propuestas en la misma, pues le posibilita ejercitar la matemática infantil en el desarrollo del pensamiento a través del análisis, comparación y comprensión y, a su vez apropiarse del conocimiento adquirido. Así mismo GeoGebra al ser dinámico y con un abanico de posibilidades para realizar construcciones gráficas, proporciona alternativas en la realización de actividades didácticas en Educación Inicial tales como: • Construir figuras geométricas a partir del uso de los botones: segmento, polígonos y circunferencias. • Insertar imágenes desde los archivos del ordenador. • Funciones dinámicas al insertar los botones: texto y casilla de control. • La alta gama de colores para una presentación atractiva. Figura 1. Diseño de figuras con GeoGebra. Por otra parte, la herramienta posibilita al estudiante como lo menciona (Aktümen & Kabaca, 2012), citado en (Barahona et al., 2015): procesos de abstracción para mostrar cómo se construye una relación entre un modelo geométrico y un modelo algebraico de una situación de la vida real, lo que permite encontrar soluciones no solo matemáticas sino además visuales que representen la solución de un determinado problema (p. 39). De esta manera, contribuye con diversas estrategias y métodos para el desarrollo de los procesos cognitivos en esta área, puesto que “garantiza la asimilación del aprendizaje y la generación de nuevos conceptos matemáticos” (Little, 2009, citado en Barahona et al., 2015. p. 4), que le permitan interactuar y desenvolverse con mayor facilidad tanto en el contexto educativo como en lo cotidiano. Es así como, la herramienta GeoGebra propicia espacios de motivación y creatividad mediante las actividades didácticas y una nueva forma de aprender la matemática infantil. 51 Este software promueve procesos cognitivos que permiten desarrollar competencias matemáticas básicas que están ligadas a fomentar la creatividad del estudiante al aplicar sus conocimientos y habilidades en descubrir nuevas formas de aprender (Arteaga et al., 2019). Dado que, la misma facilita el aprendizaje autónomo acorde al tiempo que el aprendiz disponga para la actividad. La herramienta ofrece representaciones gráficas y simbólicas que favorecen a la asimilación de conocimientos, no obstante, la interacción con la misma y la colaboración en el aprendizaje con sus pares más cercanos, contribuye a un aprendizaje significativo en la adquisición de nociones matemáticas (Barahona et al., 2015). Es necesario resaltar, que las competencias que el docente requiere desarrollar en el educando con GeoGebra dependerán en gran medida de las necesidades del aula. Metodología La presente investigación se desarrolló en el marco de un enfoque cualitativo, puesto que permitió observar, analizar e interpretar los hechos con la finalidad de conocer a fondo la realidad suscitada en el campo investigado (Hernández et al., 2014). Para ello, se realizó una sistematización de experiencias como lo sugiere Oscar Jara (2018) a través del relato de las experiencias vividas por los docentes en formación de quinto ciclo de la carrera de Educación Inicial en la asignatura de Ambientes de aprendizaje para el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Además, se evaluó las competencias direccionadas hacia las destrezas del Ámbito Relaciones lógico-matemáticas del Currículo de Educación Inicial 2014. Con el cual se pretende que el niño adquiera nociones básicas sobre la construcción del número, la forma, medida de los objetos y, el espacio en relación con cada uno de ellos. Por tanto, se consideraron a 20 docentes en formación, los cuales planificaron actividades con la herramienta GeoGebra para posteriormente aplicarlos con niños y niñas de 3 a 5 años de edad. Resultados Para este estudio, se consideraron las actividades construidas en la herramienta GeoGebra y su aplicación en la práctica, en base a las destrezas que se mencionan en el Currículo de Educación Inicial 2014, para las competencias matemáticas que deben desarrollar los infantes en esta edad. Es por ello que, se describe a GeoGebra como un software llamativo el cual provocó curiosidad, imaginación y creatividad al visualizar las imágenes, mismas que les permitió a los niños y niñas describir las características de lo observado en las actividades. Por otro lado, es indispensable mencionar que, al momento de clasificar los objetos según su grosor y tamaño, los infantes al inicio tuvieron dificultad al utilizar el computador. Sin embargo, con el acompañamiento oportuno lograron superar este obstáculo y, así cumplir con el objetivo de la actividad de manera autónoma. Otro aspecto relevante en las actividades fue el fortalecimiento del pensamiento lógico en el aprendizaje de las figuras geométricas, puesto que los infantes interactuaron activamente con el recurso tecnológico al razonar, reconocer y relacionar las cualidades de los objetos. En torno a la noción de número se verificó que los niños cumplieron correctamente los pasos para completar las secuencias numéricas en relación con la cantidad de los objetos presentados. 52 También, comprendieron las instrucciones dadas para la consecución adecuada de cada una de las actividades. Por tanto, con este recurso digital se logró que los infantes desarrollen las habilidades y destrezas matemáticas necesarias, a través de las actividades interactivas adaptadas a las edades de los niños. Es decir, al utilizar GeoGebra se promovió un aprendizaje enriquecedor a corta edad. Conclusiones El aporte de la herramienta GeoGebra en los procesos de enseñanza aprendizaje de la matemática en la Educación Inicial a partir de las actividades didácticas, se constituyeron relevantes para la adquisición de habilidades y destrezas, considerando a las competencias como un componente sustancial que enmarca a las mismas. En efecto, se propició un espacio de creatividad e innovación tanto para los docentes como para los niños fomentando la participación activa y el aprendizaje mutuo. Además, la expectativa de los niños y niñas al observar una herramienta motivadora fue esencial para propiciar aprendizajes significativos. En este sentido, se observó que la matemática infantil tomó un rumbo diferente y de calidad en los procesos educativos al integrar la tecnología como un medio innovador acorde a los desafíos de una sociedad cambiante. Referencias Arteaga, E., Medina