UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Carrera de: Educación Básica Itinerario Académico en: Pedagogía de la Matemática Ambiente de aprendizaje enfocado a la multiplicación de números naturales para cuarto grado EGB en la Unidad Educativa “Luis Cordero” Trabajo de titulación previo a la obtención del título de Licenciado en ciencias de la educación básica itinerario pedagogía de la matemática. Autor: Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin CI: 0106411523 Tutor: Abdón Pari Condori PhD. CI: 0152062154 Cuenca, Ecuador 26-febrero-2020 Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página II Universidad Nacional de Educación Dedicatoria Luego de concluir este trabajo le dedico: Primero a Dios por ser mi fortaleza en momentos difíciles y guía para alcanzar mis metas. A mis padres por ser las personas más importantes en mi vida y ejes de mi desarrollo, a quienes debo todo lo que soy. A mi familia, quienes con su apoyo moral me han motivado para continuar mi camino a pesar de las adversidades. JONNATHAN Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página III Universidad Nacional de Educación Agradecimientos Primero quiero agradecer a mis padres por regalarme el milagro de la vida llena de cariño, gracias por todo su esfuerzo hacia mi formación, la cual con valentía me brindaron, encaminándome siempre al sendero de la superación. Sin ustedes no lo hubiera logrado, son mi vida. A mis profesores por su apoyo, confianza y por transmitirme su sabiduría durante mi formación, gracias por todos sus consejos, de manera especial, a mi tutor por brindarme su tiempo y acompañarme a la realización de este trabajo. Por último, agradezco a todas las personas que me hicieron posible llegar hasta este momento, compartiendo momentos agradables y adversidades, en general a todas las personas que me rodean muchas gracias. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página IV Universidad Nacional de Educación Resumen El presente estudio está enfocado al tema de la enseñanza de la multiplicación de números naturales mediante la aplicación de un ambiente de aprendizaje, para alumnos de cuarto grado paralelo “B” de Educación General Básica. El objetivo guía del proyecto es proponer un ambiente de aprendizaje que integre el uso de materiales didácticos manipulativos para apoyar el proceso de enseñanza aprendizaje de la multiplicación de números naturales, apoyado en objetivos específicos encaminados al diseño, aplicación y evaluación de una propuesta innovadora de aprendizaje. La metodología empleada es de carácter cualitativo con un alcance exploratorio, permitiendo la recopilación y análisis de datos tras la implementación de una propuesta de innovación pedagógica, para lo cual se utilizaron técnicas de recolección de datos: prueba de diagnóstico, diarios de campo, y entrevistas, enfocadas al seguimiento del proceso de aprendizaje, luego de la aplicación de la propuesta, mediante un proceso de investigación acción. Como resultados de la investigación se pudo conocer que la aplicación de un ambiente de aprendizaje enfocado a la multiplicación, propicia una mejora en el aprendizaje de los estudiantes, ayudando al desarrollo de destrezas y habilidades necesarias para comprender la noción de multiplicación y mejorar la resolución de ejercicios. Se concluye que usar un ambiente de aprendizaje motiva a los alumnos, despierta su interés, creatividad y predisposición por aprender, además, el uso de materiales didácticos manipulativos posibilita una mejor comprensión del algoritmo de la multiplicación partiendo desde situaciones concretas las cuales permiten la compresión de conceptos matemáticos abstractos. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página V Universidad Nacional de Educación Palabras clave: multiplicación-ambiente de aprendizaje, material manipulativo. Abstract The present research is about the multiplication teaching of the natural numbers through the application of learning environment, applied in students of fourth grade of Basic General Education, the objective guide is propose a learning environment whit manipulative materials to support the teaching-learning process the multiplication of natural numbers, the specific objectives used are design, application and evaluation of an innovative learning proposal. The methodology used is qualitative with exploratory scope, allowing the collection and analysis of data after the implementation of proposal for pedagogical innovation, for this process they were used process like diagnostic test, field diary, and interviews, focused on the monitoring of learning results after the application of the proposal through an action research process. As results of the research, it was learned that the application of a learning environment focused on multiplication, promotes an improvement in student learning, helping the development of skills and abilities necessary to understand the notion of multiplication and improve the resolution of exercises, it is concluded that using a learning environment motivates students, arouses their interest, creativity and predisposition to learn, in addition the use of manipulative teaching materials allow a better understanding of the multiplication algorithm starting from specific situations which allow compression of abstract mathematical concepts. Key words: multiplication, learning environment, manipulative material. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página VI Universidad Nacional de Educación Índice General 1) Introducción .................................................................................................................. 1 2) Justificación .................................................................................................................. 3 3) Objetivos ....................................................................................................................... 6 3.1. Objetivo general ........................................................................................................... 6 3.2. Objetivos específicos .................................................................................................... 6 4) Marco teórico ................................................................................................................ 7 4.1. Investigaciones previas ................................................................................................. 7 4.2. Ambientes de aprendizaje ............................................................................................. 8 4.2.1. Antecedentes de ambientes de aprendizaje .................................................................. 8 4.2.2. Conceptualización de ambiente de aprendizaje ............................................................ 9 4.2.3. Características de un ambiente de aprendizaje ............................................................ 11 4.2.4. Dimensiones de ambiente de aprendizaje ................................................................... 12 4.2.5. Rol del docente y de los estudiantes ........................................................................... 14 4.3. Material didáctico manipulativo ................................................................................. 15 4.3.1. Conceptualización de material didáctico manipulativo .............................................. 15 4.3.2. Importancia del material didáctico manipulativo ....................................................... 16 4.3.3. Funciones del material manipulativo .......................................................................... 17 4.3.4. Materiales manipulativos en el área de matemáticas .................................................. 18 4.3.5. Tablero de multiplicación Waldorf ............................................................................. 20 4.3.6. Caja Mackinder ........................................................................................................... 20 4.4. Enseñanza aprendizaje de la multiplicación de números naturales ............................ 21 4.4.1. Multiplicación de números naturales: Concepto y propiedades ................................. 21 4.4.2. Dificultades en el proceso de enseñanza aprendizaje de la multiplicación ................ 26 Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página VII Universidad Nacional de Educación 5) Marco metodológico ................................................................................................... 29 5.1. Paradigma de investigación ........................................................................................ 29 5.2. Enfoque de investigación ............................................................................................ 29 5.3. Diseño de investigación .............................................................................................. 30 5.4. Técnicas de investigación ........................................................................................... 31 5.5. Instrumentos de investigación .................................................................................... 32 5.6. Planteamiento de categorías orientadoras ................................................................... 33 6) Análisis e interpretación de resultados ....................................................................... 35 6.1. Valoración del proceso diagnóstico ............................................................................ 35 6.2. Proceso investigación-acción ..................................................................................... 36 6.3. Reflexión general del proceso investigación-acción. ................................................. 54 6.4. Triangulación .............................................................................................................. 56 7) Desarrollo de la propuesta .......................................................................................... 61 8) Conclusiones y recomendaciones ............................................................................... 85 9) Referencias ................................................................................................................. 88 10) Anexos ........................................................................................................................ 93 Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página VIII Universidad Nacional de Educación Índice de tablas Tabla 1: Relaciones de correspondencia multívoca ................................................................. 25 Tabla 2: Establecimiento de categorías de análisis .................................................................. 33 Tabla 3:Planificación de la primera etapa del proceso de I-A .................................................. 37 Tabla 4: Planificación de la segunda etapa del proceso de I-A ................................................ 40 Tabla 5: Planificación de la tercera etapa del proceso de I-A .................................................. 43 Tabla 6: Planificación de la cuarta etapa del proceso de I-A ................................................... 47 Tabla 7: Planificación de la quinta etapa del proceso de I-A ................................................... 51 Tabla 8: Percepciones de los actores involucrados en el proceso de investigación ................. 57 Índice de Figuras Ilustración 1: Situación de correspondencia multívoca ........................................................... 25 Ilustración 2: Triangulación de datos ....................................................................................... 57 Ilustración 3: Aula del cuarto grado EGB ................................................................................ 66 Ilustración 4: Cuadros con carácter motivacional relacionado a la multiplicación ................. 67 Ilustración 5:Material didáctico de refuerzo enfocado a las tablas de multiplicar ................... 70 Ilustración 6:Caja Mackinder para la enseñanza de la multiplicación ..................................... 71 Ilustración 7:Elaboración de la Mackinder .............................................................................. 72 Ilustración 8:Tablero de multiplicación de Waldorf ................................................................. 74 Ilustración 9:Elaboración del tablero de multiplicación de Waldorf ........................................ 75 Ilustración 10:Elaboración del tablero de multiplicación de Waldorf ...................................... 76 Ilustración 11:Organizaciones del espacio áulico para el trabajo individual y grupal ............. 78 Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página IX Universidad Nacional de Educación Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 1 1) Introducción Es preciso diagnosticar las dificultades que presentan los alumnos dentro del área de matemáticas, sus posibles causas y factores que inciden en el problema, por esta razón, luego de 9 periodos académicos de Prácticas Preprofesionales (PP) se ha diagnosticado que, los alumnos al comenzar el aprendizaje de la multiplicación de números naturales presentan dificultades, algunas de las causas de este fenómeno se deben a métodos de enseñanza tradicional, aprendizaje memorístico, falta de recursos educativos y resistencia a la asignatura. Estos factores limitan la comprensión de los estudiantes y provocan dificultades de aprendizaje de esta operación básica esencial a lo largo de la instrucción escolar. La consecuencia de este problema de aprendizaje ocasiona estudiantes con habilidades ineficientes en el aprendizaje de la multiplicación, además, crea una sucesión de dificultades en grados posteriores, debido a que, la multiplicación es una operación implícita en contenidos matemáticos de nivel medio y avanzado. Por consiguiente, el Currículo de Educación General Básica de Ecuador afirma que la multiplicación es una de las operaciones esenciales para la vida del ser humano, por medio de ello, no solo se puede realizar ejercicios para resolver problemas planteados en diferentes textos de matemática, sino es una herramienta que se usa en muchas de las actividades cotidianas. Así también, está implícita en procesos aritméticos y geométricos que se estudian a lo largo de la educación básica. En la Unidad Educativa Luis Cordero de la ciudad de Azogues se evidencia que los alumnos tienen dificultades, en el tema de la multiplicación desde el grado donde inicia su aprendizaje, hasta el nivel superior, asimismo, no existen ambientes de aprendizaje, ni recursos didácticos que apoyen el aprendizaje de este tema. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 2 Por tal motivo, es importante proponer un ambiente de aprendizaje utilizando un conglomerado de materiales didácticos manipulativos que ayuden a fomentar el aprendizaje acerca de la enseñanza de la multiplicación de números naturales. No obstante, para llevar a cabo este estudio fue pertinente interpretar las percepciones de los actores del proceso educativo sobre el ambiente de aprendizaje, las interacciones suscitadas, los conocimientos adquiridos, las actitudes y comportamientos del alumnado. Para analizar este panorama fue necesario que el investigador se involucre en el proceso, observando y registrando todos aquellos aspectos más sobresalientes, con el propósito de dar a conocer aspectos cualitativos. En resumen, se puede deducir que, al momento de transformar el proceso de enseñanza aprendizaje, mediante la aplicación de nuevas propuestas educativas se fomenta el interés, la curiosidad y la motivación en los alumnos potenciando así sus habilidades y alcance de destrezas necesarias para la una comprensión real de la matemática. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 3 2) Justificación La matemática dentro del proceso educativo resulta fundamental, debido a su utilidad e integración en actividades cotidianas sobre esto Hodaňová y Nocar (2016) sostiene que los conocimientos matemáticos son importante para la vida, encontramos aplicación de la matemática no solo en campos técnicos, sino en rutinas diarias que influyen en actividades de nuestra vida; es por esto que el aprendizaje de las matemáticas en la instrucción primaria debe ser un eje primordial, tanto para el desarrollo de conocimientos del alumno como para su desarrollo integral. La enseñanza de las matemáticas en el Ecuador actualmente es deficiente, según el reporte del diario el Universo en el (2019), el 70,9% de los estudiantes en las pruebas PISA presentan un alto problema en el área de matemáticas, pues, este estudio resalta que, obtuvieron un puntaje de 377 sobre 1.000, esto demuestra que los alumnos no alcanzan el nivel 2, considerado como un nivel de desempeño básico. Este factor de deficiencia se suscita hace años atrás, no obstante, no se han concretado acciones que promuevan soluciones. Existe una evasión constante de responsabilidades sobre la enseñanza de la matemática, los estudiantes mencionan que el problema parte de la falta de dominio de contenidos y metodologías utilizadas por los docentes, a su vez los maestros señalan que son las autoridades las responsables debido a la ineficiente selección de contenidos curriculares y falta de programas de formación, finalmente, las autoridades centran las debilidades en las malas prácticas de enseñanza por parte de los educadores. La escuela es el centro de formación del estudiante, es ahí donde se debe desarrollar el gusto y la predisposición por el aprendizaje de la asignatura de la matemática, proponiendo a los estudiantes una flexibilidad de pensamiento, curiosidad, creatividad y capacidad de pensamiento Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 4 crítico; un tema central dentro de la instrucción primaria es el aprendizaje de las operaciones fundamentales con números naturales Flournoy (1969) afirma que las cuatro operaciones vitales con números son la suma, resta, multiplicación y división, en donde la adición y la multiplicación comprenden el agrupamiento de conjuntos y la sustracción y división comprenden la separación de conjuntos. La aritmética es la rama de las matemáticas que estudia los números, sus operaciones y propiedades elementales, es decir, esta es la rama de las matemáticas donde se integra la multiplicación. Los objetivos de la enseñanza de la aritmética según Flournoy (1969) son comprender las ideas matemáticas fundamentales, reconocer características, propiedades y aplicarlas en la vida, en problemas de trascendencia social; todos los estudiantes necesitan buenas bases de conocimientos, comprensión y predisposición aritmética para apreciar la función de las matemáticas en su desarrollo integral. En el Currículo de Educación General Básica del Ecuador dentro del área de matemática, en el subnivel elemental según el Mineduc (2016) sugiere que: La enseñanza de matemáticas debe ligarse a las actividades lúdicas que fomenten la creatividad, la observación, el descubrimiento, la investigación y la solución de problemas cotidianos; el aprendizaje debe ser intuitivo, visual y ha de concretarse mediante la manipulación de objetos para obtener las propiedades matemáticas deseadas e introducir a su vez nuevos conceptos. (p.344) Con base en lo expresado en el currículo resulta viable ejecutar esta propuesta de innovación en el aula de cuarto grado paralelo “B” en la Unidad Educativa Luis Cordero de la Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 5 ciudad de Azogues, para esto se solicitó el acompañamiento y la experimentación de esta propuesta (ver anexo 1), para enseñar conocimientos matemáticos relacionados a la multiplicación, mediante un ambiente de aprendizaje que implique la manipulación de objetos, utilizando metodologías lúdicas que potencien el descubrimiento del estudiante en su proceso de aprendizaje, motivando, potenciando y facilitando la comprensión de contenidos matemáticos abstractos, que promuevan el descubrimiento y apropiación de aprendizajes. La pregunta de investigación que orienta este estudio es: ¿Cómo apoyar al proceso de enseñanza aprendizaje de la multiplicación de números naturales en el cuarto grado paralelo “B” de EGB de la unidad educativa Luis Cordero? Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 6 3) Objetivos Para efectos de esta investigación se plantean los siguientes objetivos, que tienen la intención de servir de guía al investigador, permitiéndole determinar un rumbo investigativo estructurado acorde al alcance de estos; el objetivo general es el eje central del proyecto y los objetivos específicos apoyan a su logro. 3.1. Objetivo general Proponer un ambiente de aprendizaje que integre el uso de materiales didácticos manipulativos para apoyar el proceso de enseñanza aprendizaje de la multiplicación de números naturales en los alumnos de cuarto grado paralelo “B” de Educación General Básica de la Unidad Educativa Luis Cordero. 3.2. Objetivos específicos • Diagnosticar los conocimientos previos de los alumnos de cuarto grado paralelo “B” sobre el tema de la multiplicación de números naturales. • Fundamentar aspectos teóricos y metodológicos relacionados a la temática del estudio. • Diseñar un ambiente de aprendizaje que integre el uso de material didáctico manipulativo como apoyo a la enseñanza de la multiplicación de números naturales. • Implementar el ambiente de aprendizaje en el cuarto grado paralelo “B” de Educación General Básica. • Valorar el proceso de implementación de la propuesta y las percepciones de la misma por parte de los actores involucrados en el proceso de enseñanza aprendizaje. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 7 4) Marco teórico A continuación, dentro de esta sección se presenta un acercamiento teórico sobre la problemática, basado en literatura que guarda relación con el tema de estudio, se detallan antecedentes de investigaciones similares, y temas tales como: ambientes de aprendizaje, material manipulativo, la multiplicación de numero naturales, se especifican conceptos, contradicciones, importancia e influencia, dentro del campo didáctico y pedagógico en el área de la matemática. 4.1. Investigaciones previas Luego de realizar una búsqueda bibliográfica, ha sido posible identificar investigaciones similares a la temática abordada dentro de este proyecto, las cuales se detallan a continuación. Por ejemplo el trabajo titulado “El uso de material manipulativo en la enseñanza de Matemática” es una investigación en la cual Salgado (2014) afirma que su investigación emerge tras identificar la falta de implementación de métodos activos dentro de escuelas tradicionales, que realizan prácticas memorísticas lo cual genera estudiantes pasivos, por lo tanto, la investigadora aplicó una intervención educativa en la que se utilizó material manipulativo en los bloques curriculares de la asignatura de matemática, sus resultados determinaron la importancia de aprender matemática con la manipulación de objetos tangibles, reconociendo que los alumnos al utilizar recursos se sienten motivados, se involucran en su aprendizaje disfrutan y aprenden, no obstante, no se alcanzó una variación significativa de aprendizaje. Por otra parte, Bock (2006), al identificar situaciones particulares en el proceso de enseñanza de la multiplicación, pudo evidenciar que esta operación aún se enseña de manera tradicional sin utilizar recursos que ayude a la compresión del contendido. Por tal motivo, el autor Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 8 propone lo siguiente: “Un estudio didáctico sobre la noción de razón “múltiplo” y su vinculación con la multiplicación de números naturales”, por medio del trabajo cooperativo y material concreto, algunos de sus resultados de ciertas situaciones de comparación de razones pueden constituir escenarios donde los alumnos enriquecen sus nociones de multiplicación, la experiencia del autor confirma que al final del trabajo los estudiantes lograron generar la idea de multiplicación y mejorar su eficiencia en los procedimientos de resolución de ejercicios. 4.2. Ambientes de aprendizaje Frente a la evolución de la educación en el siglo XXI los ambientes de aprendizaje, concebidos como espacios que favorecen al desarrollo de procesos de enseñanza aprendizaje, emergen tras las exigencias de la sociedad moderna, sostenidos mediante nuevos paradigmas educativos. Las transformaciones que proponen los ambientes de aprendizaje a la educación, son el desarrollo social, emocional y educativo del alumno fomentando una formación integral, que involucre el fomento de valores, la concentración, el desarrollo de competencias y el fortalecimiento del pensamiento crítico en los estudiantes. A continuación, se propone un recorrido sobre los antecedentes, características, conceptualizaciones, dimensiones y roles del estudiante y el docente con relación a los ambientes de aprendizaje. 4.2.1. Antecedentes de ambientes de aprendizaje Para comprender y valorar la metodología de ambientes de aprendizaje resulta pertinente conocer los antecedentes de la misma, al analizar las palabras ambiente y aprendizaje es posible identificar particularidades que se integran dentro de los significados de estas palabras y analizarlos entorno a su terminología. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 9 Para empezar la palabra ambiente, según la RAE, (2019) se define como las condiciones o situaciones físicas, económicas o sociales, de un colectivo un lugar o época. Por otra parte, la palabra aprendizaje la RAE (2019) lo delimita como el alcance del conocimiento por medio del estudio o de la experiencia. A partir de estos significados podemos entender un ambiente de aprendizaje como un entorno físico y social que integra condiciones necesarias y específicas para adquirir conocimientos generados a través de experiencias, es oportuno tener presente que estos espacios resultan una alternativa metodológica de la pedagogía moderna que busca la mejora de los logros de aprendizaje, superando las barreras de la pedagogía tradicional. Las raíces históricas que fomentaron la creación de los primeros ambientes de aprendizaje según Giroux (como se citó en Duarte, 2003) “emergen, sobrepasando los tradicionales linderos escolares que la monopolizaban, se remontan a los años sesenta en Latinoamérica con las experiencias educativas lideradas por comunidades e instituciones, con ideales liberacionistas en contextos de marginación, explotación económica y dominación política” (p.1). Entonces podemos expresar que la metodología de ambientes de aprendizaje se enmarca dentro de un contexto de construcción de una clase social revolucionaria, que busca emerger de la explotación por parte de grupos de poder, generando una nueva visión al sector educativo, pretendiendo innovar la forma de enseñanza buscando el desarrollo integral del estudiante, estimulando sus sentidos, favoreciendo a la mejor comprensión y al desarrollo de habilidades con la implementación de entonos con características específicas. 4.2.2. Conceptualización de ambiente de aprendizaje Para responder a la interrogante ¿Qué es un ambiente de aprendizaje? Es propicio recopilar conceptos de diversos autores para analizar las diferencias y las particularidades de sus trabajos, Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 10 de manera que se posibilite un análisis holístico en relación a la diversidad conceptual de cada referente. Para empezar consideraremos la forma de enseñanza tradicional que lamentablemente sigue dentro de las aulas en los tiempos actuales, sobre esto Correa (2008) menciona que al hablar de aula tradicional visualizamos un espacio monótono, en el cual existe un ambiente pasivo con alumnos sentados escuchando lo que expone un docente, el cual es el portador del conocimiento, dentro de esta aula existen los elementos básicos como pizarrón, marcadores, cuadernos, libros y algunas herramientas adicionales. También la escuela tradicional no permite un desarrollo del niño, pues sus bases epistemológicas encierran al alumno dentro de su verticalidad, e interrumpen que el alumno pueda saber hacer, pensar y actuar de manera crítica y objetiva. Las pedagogías siguen siendo las tradicionales, conductistas, repetitivas y verticales. Las niñas, niños y adolescentes son otros, tienen otros intereses, no sabemos cómo enseñar, deambulamos entre la incertidumbre y el autoritarismo, entre la pregunta por los valores y el moralismo, entre la escuela de ayer y la pregunta por la escuela de hoy, y en pocos casos, la innovación logra ingresar a la educación. (Álvarez, 2018, p.2) Ahora bien, desde los nuevos paradigmas educativos en la praxis docente se busca un modelo amigable con el desarrollo de los estudiantes, en donde la creación y aplicación de nuevos ambientes de enseñanza, resultan una propuesta favorable para beneficiar el desarrollo social y cognitivo del escolar, Parras (como se citó en Duarte, 2003) piensa que “las nociones de ambiente educativo remite al escenario donde existen y se desarrollan condiciones favorables de aprendizaje. Un espacio y un tiempo en movimiento, donde los participantes desarrollan capacidades, competencias, habilidades y valores” (p.102). La noción del autor resume un ambiente de aprendizaje como un escenario favorable en donde se desarrollan competencias, habilidades y valores, sin embargo, es un concepto reducido que no considera otros factores que se encuentran Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 11 dentro del concepto de ambiente de aprendizaje; por esta razón es oportuno considerar otra conceptualización, Figueroa, Esteves, Bravo y Estrella (2018) refieren que: ambiente de aprendizaje se define como un "lugar" o "espacio" donde el proceso de adquisición del conocimiento ocurre. Es un ambiente de aprendizaje el participante actúa, usa sus capacidades, crea o utiliza herramientas y artefactos para obtener e interpretar información con el fin de construir su aprendizaje. Es un espacio organizado y estructurado de tal manera que facilita el acceso al conocimiento, genera actividades y relaciones que motivan a aprender. (p.176) Esta interpretación permite ampliar el concepto, de tal manera que se puede desarrollar la concepción anterior e interpretar un ambiente de aprendizaje como un escenario favorable de interacción y participación de manera estructurada y organizada en el cual se motiva al estudiante, se generan estrategias, se utilizan herramientas y materiales que posibiliten la interpretación de información, mediante la cual se facilita la adquisición de conocimiento, el desarrollo de competencias, habilidades y valores de tal manera que, la interacción, la participación y el desenvolvimiento sea más factible para la construcción de conocimiento. Para finalizar, un aspecto importante a considerar dentro del ambiente de aprendizaje es la interacción que entre los participantes Duarte (2003) argumenta que “el ambiente debe trascender entonces la noción simplista de espacio físico, como contorno natural y abrirse a las diversas relaciones humanas que aportan sentido a su existencia” (p.99). Esta idea, permite comprender un ambiente de aprendizaje de manera holística y asimilar que existen las condiciones materiales como: la infraestructura, materiales, herramientas, recursos, condiciones temporales que implica procesos y acciones, estrategias, niveles de comprensión, asimilación entre otros y las condiciones socio afectivas que se relacionan a las interacciones necesarias entre los participantes del proceso alumno, docente y espacio. 4.2.3. Características de un ambiente de aprendizaje Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 12 Existen características que diferentes autores definen como necesarias a considerar al momento de manejar un ambiente de aprendizaje, por ejemplo, Herrera (2006) considera que la aplicación de un ambiente de aprendizaje implica un replanteamiento de los proyectos educativos, el establecimiento de buenas prácticas de interacción entre los protagonistas y la integración de un sistema flexible y dinámico. Es importante que los ambientes de aprendizaje dentro del aula de clases, brinden a sus estudiantes un entorno propicio para su desarrollo integral, emocional, social y educativo donde exista clima de confianza, aceptación, respeto, solidaridad entre los docentes y estudiantes obteniendo un aprendizaje de calidad, de confianza, aceptación, respeto, solidaridad entre los docentes y estudiantes logrando un aprendizaje de calidad. 4.2.4. Dimensiones de ambiente de aprendizaje Dentro de la temática ambientes de aprendizaje, se exponen una clasificación basada en una estructura de cuatro dimensiones interrelacionadas entre sí, dimensión: física, funcional, relacional y temporal, para profundizar se adoptará la clasificación que propone Iglesias (2008): La dimensión física: se describe a la apariencia del ambiente desde el aspecto del espacio (aula) sus situaciones de estructura (medidas, clase de suelo, etc.) además visualiza los objetos utilizados dentro del espacio (los materiales, el mobiliario, la decoración, etc.) también considera la organización, la distribución y los materiales. Esta dimensión actúa como un andamiaje básico que posibilita la integración de los alumnos en el contexto escolar. La dimensión funcional: se relaciona al modo de utilización de los espacios, su polivalencia acorde a las actividad empleada dentro del espacio, el modo de utilización de los espacios pueden usarse autónomamente por los alumnos o bajo la dirección del docente, la polivalencia se refiere a las funciones que puede asumir un mismo espacio físico, por último, al atender al tipo de Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 13 actividades realizada en un determinado espacio físico, este adquiere una u otra dimensión funcional como rincón de las construcciones, del juego simbólico, de la música, de la biblioteca, etcétera. La dimensión temporal: se vincula a la organización del tiempo, de las distintas actividades realizadas, está ligado al espacio en que se realiza cada una de ellas: el tiempo de jugar en los rincones, de comunicarse en la asamblea, el trabajo individual o en pequeños grupos, etc., o también el tiempo de la actividad libre, autónoma y las actividades planificadas, cada tiempo establecido debe organizarse acorde al espacio y las actividades, coherente con el tiempo de la clase, por último la velocidad con la que se ejecutan diferentes actividades, puede dar lugar a un ambiente estresante o por el contrario, relajante. La dimensión relacional: comprende las distintas relaciones que se establecen dentro del aula y se vinculan a los modos de acceso a los espacios (libremente o por orden del maestro, etc.), las normas y el modo en que se establecen (impuestas o consensuada), los agrupamientos en la realización de las actividades, la participación del maestro (sugiere, estimula, observa, dirige, impone, no participa, etc.) configura una determinada dimensión relacional del ambiente del aula. Sobre esta clasificación convienen detallar que no es pertinente concebir cada dimensión por separado, sino más bien, conviene una concepción interrelacionada entre cada una de manera flexible e interactiva, es incongruente hablar de ambiente de aprendizaje, si solo enfatizamos el espacio, pues los elementos que lo componen carecerían de una funcionalidad específica, sin tiempos definidos y tampoco se generaría una relación entre los participantes de manera adecuada, en consecuencia, es importante considerar cada dimensión y definir sus particularidades, para que Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 14 de manera holística se posibilite vincular cada dimensión y generar una interrelación entre todos generando de esta forma un ambiente de aprendizaje adecuado. 4.2.5. Rol del docente y de los estudiantes Al generar un ambiente de aprendizaje que integre nuevos espacios, con innovación en el uso de materiales, estrategias etc. es preciso pensar en una modificación en el actuar del docente, por esta razón, es trabajo del educador romper las barreras educativas en cuanto a su didáctica y forma de concebir la pedagogía de manera tradicional. En cierto modo cuando un docente integra el uso de ambientes de aprendizaje en su trabajo, transforma el proceso de enseñanza aprendizaje y dentro de esta práctica adquiere nuevas responsabilidades Correa (2008) afirma que el maestro es el encargado de considerar las decisiones y las actuaciones dentro del aula, además diseña y modifica los espacios, apoya al estudiante a organizar y sus ideas y lo guía en la asimilación de aprendizajes bajo un clima de respeto, tolerancia y comprensión. En consecuencia, el maestro adquiere un rol fundamental en este proceso, adopta un papel creador de los espacios, materiales, disposiciones de espacios entre otros, un papel de motivador que fomenta el dialogo, la participación, la reflexión crítica la problematización y la retroalimentación de contenidos, un papel de guía, en el cual no es el que posee todo el conocimiento, más bien orienta a sus alumnos a descubrir los aprendizajes mediante el descubrimiento, la intriga y la reflexión. Por otra parte, la posición del alumno cambia, puesto que progresivamente debe asumir la responsabilidad de sus propios procesos de aprendizajes, pues el docente no se dedicará únicamente a la emitir contenidos para su repetición, por el contrario, los alumnos deberán descubrir su aprendizaje mediante el dialogo, el descubrimiento la participación y la reflexión. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 15 4.3. Material didáctico manipulativo Es necesario destacar la utilidad de los materiales que el docente integra dentro del aula, los cuales ayudan a brindar una educación, dinámica debido a que estos se utilizan con la finalidad de transmitir algún tipo de conocimiento. Partiendo de esto en esta revisión teórica sobre materiales didácticos manipulativos, se plantea ofrecer un concepto sobre el tema, sus características, clasificación y una selección de materiales adecuados para este estudio. 4.3.1. Conceptualización de material didáctico manipulativo Para ofrecer una adecuada conceptualización se considerarán las nociones de diferentes autores los cuales han estudiado a profundidad la temática y han llevado investigaciones relacionadas a la misma. Para empezar el concepto de Guerrero (2009) refiere que los materiales didácticos son elementos que el maestro utiliza para conducir un aprendizaje, en un contexto educativo determinado, utilizado con un fin específico y orientado a facilitar el desarrollo de actividades de formación. Por otra parte, Manrique y Gallego (2013) expresan que favorece el proceso enseñanza aprendizaje, por el contacto sensorial practico y lúdico brindando facilidad de comprensión, para lo cual deben adecuarse a las peculiaridades físicas y mentales de los alumnos facilitando la actividad docente. Estos autores tienen ideas similares las cuales están centradas en el propósito del material sobre favorecer procesos de aprendizaje y ser utilizados como guía en contextos educativos específicos. Por otro lado, Moreno (2015) expresa que los materiales no son simplemente objetos con una funcionalidad fija y definida sino más bien, son instrumentos mediadores del aprendizaje que buscan contribuir al desarrollo de competencias educativas, y construcción de conocimientos. La interacción con el material puede dar significado a las acciones que el alumno realiza con este y Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 16 así lograr, que el alumno sea participe de su aprendizaje. Por consiguiente, es adecuado destacar que los materiales didácticos pueden ser virtuales o físicos, los cuales cumplen una función conductora de aprendizaje, actuando como mediadores en el proceso de comprensión de conocimientos, permitiendo al alumno un aprendizaje por descubrimiento, debido a la manipulación o interacción con el material, vigorizando así capacidades cognitivas y motrices, las cuales además permiten al alumno el desarrollo de destrezas y habilidades necesarias relacionadas a finalidades especificas en torno al tema para el cual se las emplee. 4.3.2. Importancia del material didáctico manipulativo Es importante para el docente hacerse la pregunta ¿Qué tan importante es el material didáctico? Una respuesta adecuada a esta interrogante seria que existen contenidos dentro del currículo con un nivel de comprensión complejo, dentro de lo cual la abstracción de los alumnos o la explicación del docente sobre el tema no abastece las dudas emergentes, en estas situaciones el uso de materiales didácticos ayuda al estudiante a comprender, lo que pretende enseñar el docente, guiando el aprendizaje y generando procesos reflexivos que permitan una mayor asimilación y posterior aplicación de lo aprendido. Es pertinente contextualizar el tipo de material didáctico a utilizar dentro de este estudio, el cual será material manipulativo o también conocido como concreto, el mismo que como particularidad especifica destaca su cualidad física y tangible, la importancia de este tipo de material acorde a Morales (2012) es la influencia que ejerce sobre los órganos sensoriales del aprendiz, exponiéndolo al trato directo con el objeto de aprendizaje directa o indirectamente. Los recursos sirven para emplear técnicas concretas en el ámbito de un método de aprendizaje, Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 17 entendiendo por método el camino que sirve de guía para alcanzar, fortalecer y mejorar su nivel de competencia. 4.3.3. Funciones del material manipulativo Un aspecto fundamental a entender al momento de seleccionar un material didáctico para trabajar dentro de un aula, es la función que este posee y determinar si está acorde al tema a las cualidades de los alumnos, su facilidad de manipulación, factibilidad de comprensión y otras variables a considerar, Morales (2012) presenta las siguientes cualidades: • Proporcionar información: El material debe brindar información relevante sobre un tema específico y debe ser de fácil comprensión para el receptor. • Cumplir un objetivo: Es necesario que se identifique el objetivo determinado que se va a trabajar a través del material y analizar si estas características dan cumplimiento al mismo. • Encaminar el proceso enseñanza aprendizaje: El material debe enfocarse a delimitar los contenidos abordados y evitar confusiones evitando información no relevante. • Contextualizar a los estudiantes: Esta función se relaciona a la asociación específica del tema que se explica, mediante el uso de imágenes u objetos centrados en un tema específico. • Factibilidad la comunicación: Hace referencia al grado de comprensión del material de forma que sea entendible a cualquier persona, aquí es importante que el docente considere las características de las personas a las cuales dirige el material. • Relacionar las ideas con los sentidos: Se relaciona a la vinculación de la información que brinda en material con los sentidos (tacto, gusto, olfato, vista) favoreciendo una vinculación Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 18 de información personal y a la relación con experiencias previas para avanzar hacia el logro de aprendizajes significativos. • Motivación: Una de las funciones más importantes es despertar el interés de los estudiantes provocando curiosidad, creatividad entre otras habilidades, que permitan una concentración mayor a los contenidos que se abordan. La concepción anterior describe un material manipulativo funcional, que destaca por su fomento a comprensión de información, mediante la implicación de diferentes sentidos que crea nuevas experiencias de aprendizaje las cuales implican la interacción directa del alumno con el material, utilizar este tipo de materiales dentro de la clase fomenta el desarrollo de habilidades y destrezas, la participación, interacción, manipulación, y motivación en los alumnos para alcanzar la compresión, abstracción y el aprendizaje de nuevos contenidos. 4.3.4. Materiales manipulativos en el área de matemáticas El uso de materiales manipulativos dentro de las nuevas experiencias pedagógicas, resultan una propuesta innovadora, pues, su uso implica una comprensión real de la matemática, sobre esto Godino (2004) plantea que “los materiales manipulativos ayudan a los niños a comprender tanto el significado de las ideas matemáticas como las aplicaciones de estas ideas a situaciones del mundo real” (p.127). Con base en esta concepción, se puede asumir que el uso de materiales didácticos manipulativos propicia en los estudiantes la generación de ideas más simples partiendo de las abstracciones matemáticas propias de las operaciones, sin embargo, una noción social arraigada en el pensamiento de las personas es (la matemática es una ciencia abstracta que únicamente se construye en actividades mentales dentro del pensamiento), esta idea se refleja en muchos escenarios educativos del área de la matemática, pues no se evidencia el uso de algún tipo Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 19 de material adicional en los procesos de enseñanza, y lo único que se pretende es un aprendizaje basado en realizar procesos mecánicos de solución de ejercicios y replicar los conocimientos del docente. Trabajar con material manipulativo es de gran ayuda en el campo educativo, debido a que sirve como canal facilitador del proceso de enseñanza aprendizaje y contribuye en el desarrollo de destrezas de los estudiantes, por lo tanto, este tipo de recursos didácticos deben planearse, elaborarse y concretarse tomando en cuenta las características y necesidades educativas de los estudiantes, con el fin de alcanzar el objetivo para el cual fueron diseñados. Algunos de los materiales didácticos manipulativos usados en la matemática según Godino (2003) son, ábacos, piedras, objetos, balanzas, compases, instrumentos de medición, material de base 10, entre otros, una particularidad especial de estos materiales es la necesidad de usar los sentidos de la vista y el tacto para poder manipularlos, esta manipulación resulta una experiencia real y promueve un aprendizaje por descubrimiento necesario dentro de los desafíos de la educación actual. Las características que debe poseer el material didáctico deben estar enfocadas a brindar al alumno una comprensión simple en relación objeto-contenido, sus características manipulativas y la experiencia que produce al utilizarlos Avella, Pérez y Saravia (2001) da a conocer algunas características específicas como: • El material debe ser interesante y producir interés. • El material debe tener relación directa con la temática estudiada. • El material debe tener facilidad de manipulación. • El material debe facilitar la comprensión de conceptos. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 20 Considerando las características que mencionan los autores es imprescindible identificar y seleccionar materiales idóneos para la enseñanza de la matemática, favoreciendo así la generación de un ambiente de aprendizaje óptimo. 4.3.5. Tablero de multiplicación Waldorf Dentro de las nuevas alternativas didácticas algunos materiales como el tablero de multiplicación Waldorf, destaca por su apoyo a la enseñanza de la multiplicación de números naturales, este tablero tiene sus inicios en el método Waldorf de las escuelas Waldorf- Steinner, es una circunferencia la cual está dividida en 10 puntos homogéneos, que a su vez representan una serie numérica entre 0 y 9, su beneficio según Isoda y Olfos (2011) señalan que es proporcionar a los estudiantes un pensamiento matemático no memorístico, permitiendo establecer relaciones entre las uniones que forman figuras en el tablero y las combinaciones multiplicativas de las diferentes tablas de multiplicar, además de la relación entre multiplicación y geometría plana con la visualización de figuras, las cualidades de este material lo catalogan como apropiado para los fines de este proyecto, adaptándose a las características de los estudiantes en la búsqueda de la memorización paulatina de las tablas de multiplicar, fomentando el despertar del interés y motivación. 4.3.6. Caja Mackinder La caja Mackinder tiene sus inicios en Inglaterra con el método Mackinder, en la escuela Malborough Infant’s School, guarda relación con el método Montessori, debido a que su finalidad está relacionada a la adquisición consiente de conocimientos por parte del alumno, la caja Mackinder sirve para la comprensión de las operaciones básicas entre ellas la multiplicación, Delgado (2016) argumenta que este material apoya a la comprensión de conceptos matemáticos, Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 21 partiendo desde lo concreto hacia lo abstracto, fomentando la comprensión de la noción de la multiplicación, su diseño tiene diez cajas ubicadas en torno a una caja central de mayor dimensión, estas se sitúan sobre una base cuadrada, formando compartimientos separados, adicional se utilizan fichas, las cuales se colocan en las cajas pequeñas representando conjuntos de elementos, estas al final se trasladan a la caja central de mayor dimensión para obtener una representación total de todos los elementos. 4.4. Enseñanza aprendizaje de la multiplicación de números naturales La multiplicación es una de las operaciones básicas fundamentales dentro de la aritmética, sirve de pilar esencial para la ampliación progresiva de conceptos matemáticos dentro de los programas curriculares, además, está implícita en situaciones sencillas y complejas de la vida desde cálculos de proporciones, cálculos de áreas, etc. Este apartado está encaminado a introducir un concepto de multiplicación, la identificación de sus propiedades, las dificultades o inconvenientes entorno al aprendizaje y las nuevas propuestas metodológicas que buscan aportar a solventar sus dificultades. 4.4.1. Multiplicación de números naturales: Concepto y propiedades Para iniciar es preciso destacar la simbología que se utiliza para identificar esta operación, existen 2 formas para conocerla mediante una (X) y otra por un (.) estos símbolos permiten identificar una multiplicación, por ejemplo: Una vez identificado el simbolismo es oportuno destacar la expresión lingüística que estos adquieren, así pues, encontramos que estos símbolos se pueden expresar con las terminologías: 5 x 4 5.4 Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 22 por, multiplicado por, veces; esta variedad propicia cierta confusión para los cuales se están familiarizando por primera vez con esta expresión, es por tal motivo que, para iniciar con el aprendizaje se utilice el término veces. Si nos adentramos en el concepto de la multiplicación encontramos una incertidumbre dentro de su ortodoxia, dado que, algunos autores mencionan la relación directa entre la suma reiterada o adición de sumandos iguales y otros difieren de esto afirmando que, una suma no es una multiplicación. Una idea que muchas personas interiorizaron y han enseñado en la escuela es que la multiplicación, requiere que realicemos sumas sucesivas para hallar un resultado y la importancia de conocer la relación que existe entre la suma reiterada y la multiplicación, algunos autores sostienen esta noción por ejemplo Rodrigo (2017) dice que para comprender la multiplicación es importante tener en cuenta los conocimientos previos, como la adicción de sumandos iguales y conocer la relación entre la suma reiterativa de un número con la multiplicación. Es correcto pensar que la suma tiene algunos aspectos que se integran a la multiplicación, sin embargo, no es correcto imaginar que una multiplicación es una suma. En Ecuador la enseñanza de la matemática inicia en el 3 grado de Educación General Básica (EGB), y uno de los materiales de apoyo esenciales utilizados dentro de las aulas son los libros que el Ministerio de Educación proporciona a los estudiantes, específicamente en el libro de matemáticas se considera el concepto de multiplicación como una adición abreviada o corta de sumandos iguales, y la destreza a desarrollar con estos procesos es relacionar la noción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 23 Es importante distinguir las situaciones aditivas de las situaciones multiplicativas para poder entender sus particularidades y diferencias entre sí. Isoda y Olfos (2009) ejemplifican que La comprensión de la frase “vendrán mis 3 tíos y mis 2 hijos” se ubica en el ámbito aditivo. La comprensión de la frase “vendrán dos hijos de cada uno de mis 3 tíos” se ubica en el ámbito multiplicativo, pues se refiere a algo de algo. (p.46) Sobre esta idea es posible identificar que en la primera frase de ámbito aditivo se expresa una situación agregativa, en la cual simplemente un número se vincula al otro como una suma sucesiva, pero, en la segunda frase existe una situación más compleja de interacción de un número en función de otro que implica razonar sobre aquella situación y poder operar mediante la multiplicación. Pues bien, ahora se considerará una postura en la cual se plantea la equivocación conceptual y el riesgo de comprensión al expresar la multiplicación como una suma de sumandos iguales, para lo cual es pertinente analizar la visión de Fernández (2007) el cual sugiere que el aprendizaje tradicional, plantea la multiplicación como una suma de sumandos iguales, sin embargo, una suma no es una multiplicación, puesto que la adición posee situaciones que integran un solo conjunto, mientras que en la multiplicación las situaciones implican la integración de 2 conjuntos que expresan una relación entre sí, el autor enfatiza en la diferenciación entre estas dos operaciones y advierte que pueden producirse confusiones si el niño percibe una multiplicación cual si fuera una suma, también destaca características específicas para diferenciarlas de manera más objetiva. Asimismo, Fernández (2007) expresa que se pretende hacer una demostración sobre la idea que sugiere la multiplicación, es una suma de sumandos iguales a través de la siguiente expresión 2 x 5 = 5 + 5, pero si se analiza objetivamente los niños perciben diferencias inmediatas como la existencia de diferentes símbolos (+, x). De igual modo, la diferencia de números entre el primer Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 24 miembro y el segundo miembro de la relación, entonces ¿Son iguales realmente? Dentro de la matemática es válida la relación entre (2 x 5 = 10 y 5 + 5 = 10). No obstante, no son iguales son equivalentes, por eso la relación de igualdad. El autor expresa claramente la relación de equivalencia entre las operaciones la cual es verídica, pero sienta las bases para que no se confunda la suma con la multiplicación, pues, son operaciones distintas, que si bien son parecidas cada una tiene características peculiares, ahora bien, estas ideas abren un cuestionamiento dentro del cual la pregunta esencial a resolver seria ¿Cuáles son las diferencias especificas entre la suma y la multiplicación? Luego de plantear esta interrogante se buscarán las características que distinguen a la multiplicación de la suma, Nunes y Bryant. (2003) expresan que es común que se enseñe a sumar antes de multiplicar, que la multiplicación es más compleja que la suma, por último, que algunos aspectos de la suma son la base para el aprendizaje posterior de la multiplicación. Considerar estos aspectos dentro de la praxis de la enseñanza es correcto, ya que la secuenciación de contenidos matemáticos sugiere que la enseñanza de la suma se realice antes de la multiplicación y es verídico, además que algunos de los aspectos de la suma como la adición de sumandos iguales se utilicen para la enseñanza de la multiplicación, es posible realizar multiplicaciones realizando sumas sucesivas, aunque no es adecuado considerar la multiplicación como sumas sucesivas complicadas, el aprendizaje de la multiplicación debe trascender del simple hecho de calcular sumas repetidas, y se debe involucrar la comprensión y el entendimiento de nuevos significados de números, mediante la multiplicación y la diferenciación de características esenciales invariantes que la diferencian de la suma. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 25 Si bien, conocemos que la suma integra características específicas relacionadas a acciones de unión de conjuntos, la multiplicación a diferencia de la suma, según Nunes y Bryant (2003) presenta tipos de situaciones específicas propias de la operación. Situaciones de correspondencia multívoca: Para mejor comprensión del lector a continuación se expone el siguiente ejemplo: Un vehículo tiene cuatro ruedas, un niño tiene 2 pies, en una mesa pueden sentarse 6 personas. Ilustración 1: Situación de correspondencia multívoca Elaboración propia Podríamos relacionar a estas situaciones con situaciones de suma, no obstante, existen diferencias notables. Las situaciones de multiplicación implican una relación multívoca, al referir el termino relación multívoca, se pretende expresar que guarda algún tipo de relación: complementariedad, reciprocidad o proporción entre dos cosas, y esta correspondencia multívoca es la invariante en la situación, lo cual no se presenta en la suma. En la Ilustración 1 podemos observar: Tabla 1: Relaciones de correspondencia multívoca Primera relación Segunda relación Auto Neumáticos Hombre Piernas Relación multívoca: Proporción Relación multívoca: Proporción Invariante: Número de neumáticos por Automóvil Invariante: Número de piernas por persona 1:4 Un auto cuatro ruedas 1:2 Una persona dos piernas Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 26 Elaboración propia La correspondencia multívoca es la base del nuevo concepto matemático entorno a la multiplicación debido que, por ejemplo, un automóvil tiene cuatro neumáticos, en esta relación existe una invariable la cual es el número constante de neumáticos por cada automóvil, esta relación que posee una cualidad invariable da apertura al concepto de razón que busca relaciones entre magnitudes. Al considerar el ejemplo anterior encontramos que, cada vez que agregamos un vehículo tenemos que agregar 4 neumáticos, para mantener la relación entre estas magnitudes, entonces las acciones que se llevan a cabo para mantener esta razón se basan en la duplicación, a diferencia de la suma en la cual estas relaciones son de unión. En la multiplicación se duplican los elementos en cada conjunto considerando la correspondencia multívoca, y la duplicación permite sumar a cada conjunto la unidad que le corresponda para conservar la invariante de la correspondencia, sin importar que la relación entre estos conjuntos difiera de la cantidad de elementos siempre que se mantenga la razón. 4.4.2. Dificultades en el proceso de enseñanza aprendizaje de la multiplicación La multiplicación surge como respuesta a la evolución de las sociedades, debido a que cada vez los tratos económicos avanzaban e implicaban situaciones que requerían de cálculos con grandes cantidades. Dentro de la sociedad contemporánea es imprescindible el desarrollo de habilidades matemáticas para la vida, para responder a estas necesidades en la formación académica se integran contenidos como la multiplicación, la cual se encuentra en muchos de los cálculos de la vida diaria. Sin embargo, el aprendizaje de la multiplicación resulta un gran reto para los alumnos que empiezan con su aprendizaje Porras & Monge (2012) mencionan que al Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 27 aprender a multiplicar el solo hecho de aprender las tablas de memoria se vuelve fastidioso, y el enseñar y aprender un solo método para multiplicar, es una tarea tediosa y rutinaria para el profesor y los estudiantes. Una tendencia evidente dentro de la enseñanza de la multiplicación es comenzar el aprendizaje por la memorización de las tablas de multiplicar, la memorización de estas implica un conjunto de reglas específicas de números, no obstante, al contrarrestar esta forma de enseñanza con la realidad es difícil resolverlas sin conocerlas, ni relacionarlas con situaciones cotidianas de la vida en las cuales estén presentes, igualmente presentar actividades poco atractivas que aburran a los estudiantes complican aún más el proceso de enseñanza aprendizaje. El estudio de la multiplicación en el Ecuador tiene sus comienzos en el 3 grado de Educación General Básica, similar a la secuenciación de la multiplicación considerando los currículos de países de Asia, América latina y Singapur, dentro de su estudio Isoda y Olfos (2009) mencionan: Las secuencias observadas en distintos textos permiten identificar dos grandes etapas en la enseñanza de la multiplicación de números naturales, a saber: 1. El concepto de multiplicación y las tablas con sus propiedades. 2. Las estrategias para multiplicar números de más de una cifra y el algoritmo de la multiplicación. (p. 30) El proceso de aprendizaje de la temática de la multiplicación es arduo para el docente y para los estudiantes, ya que la integración de las nociones matemáticas implicadas en la multiplicación como: conceptos, propiedades y el aprendizaje de las tablas de multiplicar, provocan en el alumno un fuerte reto de aprendizaje, y el docente es el encargado de guiar el mismo, de manera que se adquieran bases conceptuales en grados iniciales que favorezcan su comprensión y posterior aplicación. Dentro del proceso didáctico de la iniciación de la Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 28 multiplicación Fernández (2007) menciona “Las tablas no se deben dar hechas al alumno; tiene que ser él quien las construya apoyándose en un material manipulativo.” (p. 128) Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 29 5) Marco metodológico 5.1. Paradigma de investigación La presente investigación adopta un paradigma interpretativo, sostenido en las ideas de Latorre; Rincón y Arnal (1996) que argumenta el paradigma interpretativo tiene naturaleza subjetiva y dinámica sobre la realizad estudiada, su finalidad es comprender e interpretar una realidad educativa, buscando significados sobre las percepciones, intenciones y acciones llevadas a cabo en un tiempo y espacio determinados, además, implica la relación del investigador con la realidad de estudio permitiéndole generar explicaciones sobre el contexto, para lo cual requiere estrategias de recopilación de datos en profundidad como: observación participante, entrevistas profundas y análisis documental, mediante las cuales con un proceso de análisis de contenido, inducción analítica o triangulación es posible generar conocimiento. Esta investigación, no busca dar explicaciones causales, sino trata de profundizar en el conocimiento y comprender una realidad educativa, tras la aplicación de una intervención, llevada a cabo durante las Practicas Preprofesionales del noveno ciclo, brindando explicaciones sobre las acciones y percepciones de los participantes, mediante el uso de técnicas y estrategias de profundidad y rigor metodológico, para luego de un proceso de análisis generar conocimiento. 5.2. Enfoque de investigación El enfoque que guía esta investigación es el enfoque cualitativo, debido a que se utilizan métodos de recolección de datos sin utilizar mediciones numéricas, sino más bien, se utilizan descripciones y observación, con la finalidad de comprender el fenómeno estudiado respondiendo así al paradigma interpretativo. Para una brindar una mejor conceptualización sobre este enfoque Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 30 Sampieri, Fernández, y Baptista (2010) mencionan que las investigaciones cualitativas se basan en una lógica inductiva bajo una perspectiva interpretativa, centrada en el entendimiento del fenómeno de estudio, basado en métodos de recolección de información no estandarizados, este tipo de investigación no busca probar hipótesis, no es generalizable e incluso no pretende que estos estudios sean reproducidos. Además, se ofrece una conceptualización de investigación cualitativa enfocada a la educación para lo cual Sandín (como se citó en Albert, 2007) plantea que: Es una actividad sistemática orientada a la comprensión en profundidad de fenómenos educativos y sociales, a la transformación de prácticas y escenarios socio educativos, a la toma de decisiones y también hacia el descubrimiento y desarrollo de un cuerpo organizado de conocimientos. (p.147) 5.3. Diseño de investigación El diseño de investigación seleccionado para este trabajo es Investigación-acción, para conceptualizar el termino, se considerará la definición aportada por Albert (2007) que expresa la Investigación-acción se concibe como una forma de investigación autorreflexiva, que propone modificar o transformar una realidad, la misma que se orienta a la mejora de una acción educativa. Dentro del proceso de investigación-acción se determinan fases de ejecución, para este proyecto se adopta el modelo de Kemmis el cual según Latorre (2005) sugiere la formación de un modelo cíclico, enfocado a la acción reflexiva para la enseñanza, dentro del modelo establecido se determinan 4 fases interrelacionadas buscando una visión previa de lo ejecutado y las intenciones prospectivas que mediante una espiral reflexiva del investigador generan transformación dentro del proceso investigativo, estas fases son: • Planificar • Actuar Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 31 • Observar • Reflexionar Dentro de este trabajo el proceso de investigación-acción se ejecutó durante las aplicaciones del ambiente de aprendizaje enfocado a la multiplicación de números naturales, se realizaron 5 intervenciones, por lo cual, se efectuaron 5 ciclos cada uno con sus fases de ejecución, cada ciclo busco una mejora tras procesos reflexivos realizados con la intencionalidad de transformar una realidad educativa deficiente detectada en el proceso diagnóstico. 5.4. Técnicas de investigación Las técnicas e instrumentos desarrollados y ejecutados dentro de este proyecto investigativo fueron: cuestionario, observación participante y entrevistas como medios para el levantamiento de información; los resultados obtenidos de estos instrumentos se organizarán, procesaran e interpretaran bajo la metodología de investigación-acción y una triangulación de las percepciones de los participantes. La técnica de cuestionario utilizada consistió en la elaboración de preguntas estructuradas enfocadas a la búsqueda de medir el dominio y comprensión de la multiplicación y conocimientos previos sobre la misma, con la finalidad de definir el nivel de logro de los alumnos sobre el tema y determinar las dificultades que presentan los alumnos sobre el algoritmo de la multiplicación y la resolución de ejercicios. La observación participante según Latorre (2005) es una técnica de naturaleza participativa, concebida como un método interactivo que implica una participación del observador, en los acontecimientos o fenómenos estudiados, posibilitando así un acercamiento directo a comunidades estudiadas, además pretende describir situaciones sociales, generar conocimiento, mejorar o Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 32 transformar una realidad. Por esta razón, resultó efectivo su uso dentro de las técnicas de recolección de información para obtener datos, sobre la realidad educativa y poder evidenciar la transformación tras la implementación de este proyecto. Por otra parte, la entrevista permite obtener precepciones de las personas captando sus ideas sin la interferencia del entrevistador, con el objetivo de recoger sus ideas y recolectar datos útiles para el proceso investigativo, Sampieri, Fernández, y Baptista (2010) concibe a esta técnica como una interacción comunicativa entre personas determinadas, con la finalidad de establecer un dialogo guiado que posibilite recolección de información sobre un tema específico, mediante preguntas por parte de un entrevistador. Para la investigación se utilizó el cuestionario como instrumento diagnostico con el fin de valorar el nivel de logro de los alumnos sobre el tema de la multiplicación y determinar las dificultades presentadas, además, se utilizó la observación participante mediante el uso de diarios de campo para recopilar información sobre la intervención educativa, se realizaron 5 aplicaciones, no obstante, se registran 6 diarios de campo, el primero busca determinar un diagnóstico del aula y los demás detallan los datos sobre proceso de investigación-acción, buscando generar una reflexión final tras la última aplicación. Finalmente, se realizaron entrevistas a la docente y un grupo focal a los estudiantes para obtener datos sobre sus percepciones mediante la propuesta implementada, estos datos resultaron útiles para el proceso de triangulación de información. 5.5. Instrumentos de investigación Los instrumentos de recolección y análisis de la información son los medios que facilitan y sistematizan la obtención de información facilitando así la terea del investigador, por esta razón los instrumentos a utilizar dentro de este trabajo son: Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 33 • Cuestionario Diagnostico (Ver anexo 2) • Diario de campo (Ver anexo 3) • Guía de entrevista (Ver anexo 4) • Guía de moderador (Ver anexo 5) 5.6. Planteamiento de categorías orientadoras Dentro de un proceso investigativo es sustancial ofrecer una categorización de los ejes de estudio, pues estos servirán para guiar un análisis focalizado sobre los objetivos del proyecto y las consideraciones teóricas y metodológicas del mismo. A continuación, se presenta este proceso. Tabla 2: Establecimiento de categorías de análisis Categoría Subcategoría Palabras clave Ambiente de aprendizaje Organización del espacio Estimulación Aplicación de materiales Formas de trabajo Distribución del tiempo Determinación de actividades Desarrollo de fases planificación Formación de relaciones Interacción armónica Generación dialogo Generación de participación Funcionalidad Facilidad de manipulación Despertar de interés Impulso a la comprensión Comprensión noción multiplicación Reconocimiento de situaciones multiplicativas Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 34 Elaboración propia Multiplicación Asociación de multiplicación con patrones sumas sucesivas Memorización tablas de multiplicar Memorización paulatina Aplicación de tablas de multiplicar Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 35 6) Análisis e interpretación de resultados Para la interpretación de datos se utilizó un diagnóstico previo (ver anexo 6) en el cual se destacan valoraciones sobre el contexto áulico, y se definen los conocimientos previos y dominio de aprendizajes relacionados a la multiplicación en los alumnos de cuarto grado paralelo “B”, más tarde, mediante un proceso de investigación acción respondiendo a la característica cíclica reflexiva planteada por Latorre se realizan 5 intervenciones las cuales integran fases de planificación, acción, observación y reflexión buscando detectar y solventar deficiencias en el proceso se genera una reflexión final que recoge el conocimiento generado a partir de la experiencia, y finalmente se realiza una triangulación sobre las percepciones de los implicados en la aplicación. 6.1. Valoración del proceso diagnóstico A continuación, se presenta un resumen del informe sobre el proceso diagnóstico realizado, la interpretación de esta información debería considerarse como un referente especifico de los alumnos del cuarto grado paralelo “B” de la U. E. Luis Cordero, cabe destacar que este proceso considero aspectos esenciales tales como: Currículo general ecuatoriano, Estándares de aprendizaje, Libros de texto del tercer y cuarto grado de EGB. Al realizarse una evaluación a nivel del entorno educativo y el alcance de logros de aprendizaje, mediante instrumentos de investigación (cuestionario, guía de observación) se recolectan datos e información para su análisis posterior, permitiendo una valoración profunda concerniente al nivel actual de sus alumnos en relación al dominio de destrezas con criterio de desempeño y las condiciones del entorno educativo: Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 36 • El entorno educativo del cuarto grado paralelo "B” tiene condiciones físicas limitadas, debido a un número de alumnos no acorde al espacio, iluminación y acústica limitadas que restringen el actuar del docente, además, una estética poco favorable sin recursos educativos visuales, también, el equipamiento ocupa mucho espacio en un aula pequeña, sin embargo, es practico para movilizarlo constantemente; existe un limitado uso de material escolar, sin embargo, existe acceso a internet computadora y proyector. • Referente al nivel de alcance de logro de aprendizaje los alumnos del cuarto grado paralelo “B”, presentan deficiencias relacionadas a secuencias numéricas, aplicación de propiedades de la suma, noción de multiplicación y aprendizaje de tablas de multiplicar; se ubican dentro de un nivel de logro 1 referente a la multiplicación, no obstante, el currículo general ecuatoriano sugiere que los niños al término del subnivel elemental deben alcanzar un nivel de logro imprescindible, pero esto no se evidencia pues los alumnos presentan deficiencias respecto a contenidos previos además es el primer acercamiento de los alumnos a la temática de la multiplicación. 6.2. Proceso investigación-acción El tema a desarrollar dentro de esta sección está enfocado a generar un proceso cíclico que busque la mejora de la realizad educativa, mediante acciones reflexivas e investigativas que combinadas produzcan una solución a situaciones sujetas a mejora. Ciclo 1 Planificación Podemos comenzar esta etapa considerando los aspectos necesarios utilizados para la organización y estructuración de la primera intervención de clase sobre la temática de Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 37 multiplicación de números naturales, este proceso favorece la realización de una planificación por destreza con criterios de desempeño, la cual tiene un sustento teórico para su realización. Tabla 3:Planificación de la primera etapa del proceso de I-A Primera etapa Destreza a desarrollar M.2.1.25. Relacionar la noción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”. Dimensión Física Dimensión temporal Dimensión relacional Dimensión funcional Materiales: Símbolo de multiplicación en espuma Flex. Representación de recta numérica. Figura de León para dar saltos en la recta. Organización de aula: Trabajo individual Tiempos: 10 min actividad inicial. 25 min actividades de construcción de conocimiento 10 min. Actividad final. Relación maestro alumno: Se establecen normas de comportamiento Dimensión Estudiante: Se establecen normas convivencia. Dimensión estudiante materiales: Los materiales son de materiales no tóxicos de fácil manipulación, y de aspecto agradable. Funcionalidad de recursos: Los recursos presentan cualidades manipulativas enfocadas a la percepción visual y táctil. Funcionalidad de espacios: El trabajo individual aprovecha los espacios y busca un mejor control del aula además de la movilidad del docente. Funcionalidad de tiempos: Los tiempos establecidos enfocan la construcción de aprendizajes como lo más importante de la clase. Evaluación: La evaluación se realizará de manera formativa mediante un monitoreo activo que implique el uso de preguntas y el dialogo interactivo. Conceptos: Los conceptos matemáticos sobre la temática de la multiplicación están basados en el libro del ministerio de educación del Ecuador y de bibliografía adicional dentro del marco teórico de este proyecto. Formas de enseñanza: Entre algunas de las técnicas pedagógicas utilizadas destacan las preguntas y respuestas, que permiten exponer ideas y atender los unos de otros, y la demostración con la que se busca implicar a los alumnos de forma interactiva con la ayuda de objetos para exponer una situación educativa. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 38 Elaboración propia Actuar/observar La clase da inicio a las 7 de la mañana, con el día con una breve presentación del tema y la destreza a trabajar, además, se establecen normas de comportamiento y de participación con todos los alumnos, mediante dialogo se propone que las participaciones sean con el uso de la palabra, el respeto hacia los compañeros, el compromiso de participación y atención a la clase. La actividad inicial de clase es una dinámica denominada “Muévete con los números” para esto los alumnos se levantaron de sus asientos y se empezó con la canción, que 1,2,3 a mover los pies, y se realizó un movimiento de pies, 4,5,6 las manos también, un movimiento de manos y por último 7,8,9 todo el cuerpo se mueve, los alumnos realizaban movimientos de todo el cuerpo, se repitió dos veces el cantico, los alumnos parecen divertirse además prestan mucha atención al docente durante la dinámica. Luego se plantean preguntas para apreciar los conocimientos previos sobre el tema de multiplicación, para esto se realizan preguntas como: ¿han escuchado sobre la multiplicación? ¿Saben para que sirve? Los alumnos respondían que, si escucharon sobre la multiplicación, pero no saben cómo hacerla ni para que se usa. La duración de estas actividades fue de 20 min aproximadamente. Terminado lo anterior, se procede a exponer un símbolo de multiplicación en espuma Flex se muestra a los alumnos y se pasa por la clase para que lo observen, después el docente aproxima a la terminología del símbolo y los alumnos menciona que se llama “por”, sin embargo, para comenzar el proceso de aprendizaje se acuerda que la terminología a utilizar sería “veces Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 39 Se procede a colocar dos frases en la pizarra “vendrán mis 3 tíos y mis 2 hijos” / “vendrán dos hijos de cada uno de mis 3 tíos” con estas oraciones empieza un dialogo para analizar las opiniones de los niños a lo cual respondieron que en la primera frase puede sumarse los 3 tíos y los 2 hijos, algunos utilizaban los dedos para hacer esta suma, entonces se estableció como una situación aditiva; sobre la siguiente frase algunos mencionaron que igual pueden sumar los 3 tíos y los 2 hijos, el docente se detiene y pregunta si están seguros, algunos murmuran y una alumna expone que cada tío tiene 2 hijos sobre esta idea mediante dibujos en la pizarra se explica que cada tío tiene 2 hijos entonces se puede representar esta idea como una suma sucesiva de 2+2+2. Se explica la multiplicación desde la noción de sumas sucesivas y situaciones de tantas veces tanto en la pizarra, se exponen ejemplos utilizando la multiplicación con modelo lineal y además con modelo grafico mediante dibujos de aviones agrupados en grupos de 3 con la finalidad de comprender la multiplicación como una suma sucesiva de sumandos iguales, posterior se procede a formar una definición sobre lo que es la multiplicación en conjunto con los estudiantes. Como consolidación se utiliza una hoja de trabajo con ejercicios observados en clase sobre multiplicaciones mediante el modelo lineal y gráfico Reflexión El establecimiento de normas factibiliza el control disciplinario dentro del aula, no obstante, una alternativa seria colocar estas normas en un cartel al frente de la pizarra, así mismo, las actividades dinámicas que implican movimientos corporales son de interés para los alumnos, favoreciendo la concentración posterior y la introducción a la clase. Por otra parte, el uso de preguntas sobre conocimientos previos brinda una perspectiva sobre los dominios de contenidos Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 40 de los alumnos los cuales son deficientes respecto al tema multiplicación, confirmando lo que se establece en el diagnostico educativo. La presentación de objetos manipulativos como el símbolo de multiplicación resulta llamativo para los estudiantes y empiezan preguntas sobre el tema generando una participación activa, de similar forma, el planteamiento de preguntas de razonamiento favorece la diferenciación entre la suma y la multiplicación, por último, la representación lineal y grafica de situaciones multiplicativas realizadas en la pizarra no resultan muy atractivas para los alumnos. Ciclo 2 Planificación Las reflexiones del ciclo 1 son el soporte de mejora para este proceso de planificación el cual implica tomar acciones pertinentes de mejora las cuales aporten a generar un mejor proceso de aprendizaje. Tabla 4: Planificación de la segunda etapa del proceso de I-A Segunda etapa Destreza a desarrollar M.2.1.25. Relacionar la noción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”. M.2.1.26. Realizar multiplicaciones en función del modelo grupal, geométrico y lineal. Dimensión Física Dimensión temporal Dimensión relacional Dimensión funcional Materiales: Símbolo de multiplicación en espuma Flex con carteles para colocar ideas. Carros pequeños de juguete. Tiempos: 5 min actividad inicial. 30 min actividades de construcción de conocimiento 10 min. Actividad final. Relación maestro alumno: Establecimiento de normas de comportamiento y apertura al dialogo. Dimensión Estudiante- Estudiante: Funcionalidad de recursos: Los recursos presentan cualidades manipulativas enfocadas a la percepción visual y táctil, además permiten interactuar con ellos. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 41 Animales de Foami. Organización de aula: Trabajo individual. Trabajo grupal. Se establecen normas convivencia y respeto. Dimensión estudiante materiales: Los materiales no son tóxicos de fácil manipulación, y llamativos Establecimiento de normas del uso de materiales. Funcionalidad de espacios: El trabajo individual aprovecha los espacios y busca un mejor control del aula además de la movilidad del docente. El trabajo grupal aprovecha la limitación de materiales y permite un aprendizaje de interacción social. Funcionalidad de tiempos: Los tiempos expuestos muestran la importancia de ejemplificar y utilizar materiales para el aprendizaje. Evaluación: La evaluación se realizará de manera formativa mediante un monitoreo activo que implique el uso de preguntas y el dialogo interactivo. Conceptos: Los conceptos matemáticos sobre la temática de la multiplicación están basados en el libro del ministerio de educación del Ecuador y de bibliografía adicional dentro del marco teórico de este proyecto. Formas de enseñanza: Entre algunas de las técnicas pedagógicas utilizadas destacan las preguntas y respuestas, que permiten exponer ideas y atender los unos de otros, y la demostración con la que se busca implicar a los alumnos de forma interactiva con la ayuda de objetos para exponer una situación educativa. Elaboración propia Actuar/observar La clase inicia con la dinámica enfocada a movimientos corporales, que consistió en realizar un conteo progresivo de números y cada múltiplo de 3 debía dar un aplauso y omitir el número, a los alumnos les llaman la atención este tipo de actividades, también se muestran muy interesados por usar materiales manipulativos. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 42 Luego se da comienzo a la fase de construcción de conocimiento el docente procedió a realizar grupos de 4 personas y a cada grupo le entrego 2 carritos de juguete, esto con la finalidad de explicar la situaciones de correspondencia multívoca que exponen características esenciales invariantes de la multiplicación y su papel en el descubrimiento de situaciones multiplicativas mediante la comparación entre 2 conjuntos que expresan una relación entre sí, para esto el docente luego de entregar el auto a los alumnos genero un dialogo sobre lo que observan en el auto de juguete hasta llegar a la característica de las llantas una vez aquí se estableció que el auto tenía una característica invariante que relacionaba el automóvil con el número de neumáticos, estableciendo que 1 automóvil tiene 4 neumáticos, todo este proceso de identificación y establecimiento de características el docente lo hizo a partir de material tangible utilizando el carrito como fuente de percepción primaria, cabe destacar que los alumnos agrupados en grupos de 4 generan un ambiente de indisciplina por lo cual el docente debía levantar su voz en ocasiones. Luego de haber planteado la relación invariante entre el auto y los neumáticos el docente procedió a realizar preguntas como ¿Si tengo 4,3,2 autos cuantas llantas tendré? Con esto se explicó que cada vez que agregamos un vehículo tenemos que agregar 4 neumáticos, para mantener la relación entre estas magnitudes para lo cual se duplican los elementos en cada conjunto, siendo esto una característica de la multiplicación. Finalmente, para la consolidación el docente abre un dialogo sobre lo que hemos visto en las clases con la finalidad de generar ideas sobre características o particularidades de la multiplicación y colocarlas en los recuadros de la espuma Flex presentado al inicio de la clase. Reflexión Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 43 Un aspecto clave dentro de la reflexión es la mirada objetiva de las dificultades y la consideración de elemento positivos que mejoren el proceso enseñanza aprendizaje, por lo cual dentro de esta segunda intervención se puede destacar que el uso de material manipulativo resulta motivador y agradable para los alumnos permitiéndoles comprender una idea abstracta como la relación invariante entre conjuntos, sin embargo, es necesario encontrar un material que permita concretar la idea de multiplicación considerando la particularidad de situaciones de tantas veces tanto. Por otra parte, algunas de las consideraciones sujetas a revisión se relacionan a la forma de organización del espacio, referente al trabajo grupal debido a la indisciplina que se genera, por esta razón, es oportuno buscar soluciones que permitan generar el trabajo grupal de manera estructurada en la cual los alumnos participen de manera activa, además, es uso del trabajo individual es importante y el establecimiento de un dialogo reflexivo con la finalidad crear un ambiente participativo. Ciclo 3 Planificación Tabla 5: Planificación de la tercera etapa del proceso de I-A Tercera etapa Destreza a desarrollar M.2.1.25. Relacionar la noción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”. M.2.1.27. Memorizar paulatinamente las combinaciones multiplicativas (tablas de multiplicar) con la manipulación y visualización de material manipulativo. Dimensión Física Dimensión temporal Dimensión relacional Dimensión funcional Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 44 Materiales: Caja Mackinder Pokebola Pokemones Lápices de foami Disposición de aula: Trabajo individual Trabajo grupal. Tiempos: 5 min actividad inicial. 30 min actividades de construcción de conocimiento 10 min. Actividad final. Relación maestro alumno: La relación entre el docente y el alumno es una relación de interacción constante basada en el dialogo y la reflexión Dimensión Estudiante- estudiante: Se establecen normas convivencia y además se busca una interacción mayor mediante el trabajo grupal. Dimensión estudiante materiales: Los materiales son llamativos de fácil manipulación, pero lo más importante y destacado es la intensión didáctica a la cual están enfocados. Funcionalidad de recursos: Los recursos presentan cualidades manipulativas enfocadas a la percepción visual y táctil además cada recurso tiene una finalidad didáctica orientada al alcance de un conocimiento especifico. Funcionalidad de espacios: El trabajo individual aprovecha los espacios y busca un mejor control del aula además de la movilidad del docente, sin embargo, también se utiliza trabajo grupal generando espacios que faciliten el control del aula. Funcionalidad de tiempos: Los tiempos establecidos están de acuerdo a las particularidades de los materiales las disposiciones del aula y las interacciones a llevar a cabo. Evaluación: La evaluación se realizará de mediante un monitoreo activo que implique el uso de preguntas y el dialogo interactivo, y la participación en las actividades grupales e individuales, es decir se empleara una evaluación formativa. Conceptos: Los conceptos matemáticos sobre la temática de la multiplicación están basados en el libro del ministerio de educación del Ecuador y de bibliografía adicional dentro del marco teórico de este proyecto. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 45 Formas de enseñanza: Entre algunas de las técnicas pedagógicas utilizadas destacan las preguntas y respuestas, que permiten exponer ideas de cada alumno, además, la demostración con la que se busca implicar a los alumnos de forma interactiva con la ayuda de objetos para exponer una situación educativa, el planteamiento de situaciones didácticas que implica la interacción entre el alumno el docente y el medio didáctico. Elaboración propia Actuar/observar La sesión con una breve historia a manera de cuento sobre un niño que va al mercado con su mamá y realiza las compras, según avanzaba el cuento el docente preguntaba las operaciones que el niño del cuento realizaba a sus alumnos, la forma de contar del docente hizo que los alumnos estuvieran muy concentrados, y participaran en las multiplicaciones planteadas. La clase avanzo el docente presento el material didáctico a utilizar en este día, además, explico cómo utilizarlo enfocando siempre el aprendizaje de la multiplicación mediante este recurso y el razonamiento de la multiplicación como una situación de tantas veces tanto, luego de esto, el docente utilizo el concepto aprendido de correspondencia multívoca para plantear un problemas, la relación establecida fue la cantidad de dedos en cada mano resultando una correspondencia de 1 a 5 a partir de este razonamiento se plantearon multiplicaciones por 5. Se realizaron grupos de trabajo de 4 personas resultando 10 grupos posterior se entregó una caja Mackinder, y semillas para que se utilicen como fichas y se realicen los ejercicios planteados por el docente, se presentó una Pokebola y se preguntó si conocían ese objeto los alumnos dieron una respuesta afirmativa también el docente presento unos pokemones hechos en espuma Flex, y planteo una situación problémica, Ash saco a sus pokemones a descansar, pero en la tarde quiere que descansen en su pokebolas, si tiene 5 pokebolas y en cada una de ellas puede meter 4 pokemones, entonces ¿Cuántos pokemones tiene Ash? A partir de esto los niños empezaron a Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 46 plantear el razonamiento del ejercicio argumentando que la operación sería una multiplicación de 5 veces 4, o una suma sucesiva de 4+4+4+4+4, a partir de esto, apoyados en la caja Mackinder realizaron la operación. Para finalizar se procedió a formar las combinaciones multiplicativas del número 3, 4 y 5, para lo cual cada grupo tenía asignada una multiplicación especifica asignada por el docente la cual debían resolver apoyados en la caja Mackinder y posterior colocar los resultados en un lápiz de foami que contenía las combinaciones multiplicativas sin las respuestas correspondientes. Reflexión Comenzaremos por enfatizar que se necesita tiempo para trabajar con material manipulativo, además, el realizar trabajo grupal e individual durante la clase implica que el factor tiempo se vea extendido, por esta razón, en la siguiente aplicación se debe considerar que el factor tiempo debe ser el necesario para cada actividad de manera que esta se desarrolle de forma tranquila y sin presiones, además el docente debe asignar tiempos establecidos para realizar actividades, asimismo, utilizar situaciones didácticas previamente planificadas y estructuradas, que impliquen el uso de material manipulativo. Otro componente clave que es necesario reestructurar es la disposición del aula al momento de realizar trabajo en grupo, es buscar formas de manejar el trabajo grupal, debido a que, los alumnos al trabajar en grupo no todos realizan las actividades y se muestran distraídos, por esta razón es importante buscar alternativas en relación al trabajo grupal técnicas o estrategias que apoyen a realizar un trabajo equitativo entre todos los miembros del grupo, por último, cabe Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 47 destacar que los alumnos se muestran muy interesados en realizar trabajos que impliquen competencia entre, considerando esto es pertinente continuar con este tipo de ejercicios. Ciclo 4 Planificación Tabla 6: Planificación de la cuarta etapa del proceso de I-A Cuarta etapa Destreza a desarrollar M.2.1.25. Relacionar la noción de multiplicación con patrones de sumandos iguales o con situaciones de “tantas veces tanto”. M.2.1.27. Memorizar paulatinamente las combinaciones multiplicativas (tablas de multiplicar) con la manipulación y visualización de material manipulativo. Dimensión Física Dimensión temporal Dimensión relacional Dimensión funcional Materiales: Tablero de multiplicación de Waldorf Caja Mackinder Pokebola Pokemones Disposición de aula: Trabajo individual. Trabajo grupal Roles de trabajo grupal. Tiempos: 30 min actividad inicial. 40 min actividades de construcción de conocimiento 10 min. Actividad final. Relación maestro alumno: Establecimiento de normas de comportamiento. Dimensión Estudiante- Estudiante: Se establecen normas convivencia y además se busca una interacción mayor mediante el trabajo grupal. Dimensión estudiante materiales: Los materiales son llamativos de fácil manipulación, pero lo más importante y destacado es la intensión didáctica a la cual están enfocados Funcionalidad de recursos: Los recursos presentan cualidades manipulativas enfocadas a la percepción visual y táctil, además permiten interactuar con ellos y generan procesos de memorización. Funcionalidad de espacios: El trabajo individual aprovecha los espacios y busca un mejor control del aula además de la movilidad del docente. El trabajo grupal aprovecha el uso de materiales y permite un aprendizaje de interacción social. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 48 Funcionalidad de tiempos: Se amplían los tiempos a un periodo de 2 horas clase para mejorar la realización de proceso de aprendizaje y mejorar el trabajo con material manipulativo. Evaluación: La evaluación se realizará de manera formativa mediante un monitoreo activo que implique el uso de preguntas y el dialogo interactivo. Conceptos: Los conceptos matemáticos sobre la temática de la multiplicación están basados en el libro del ministerio de educación del Ecuador y de bibliografía adicional dentro del marco teórico de este proyecto. Formas de enseñanza: Entre algunas de las técnicas pedagógicas utilizadas destacan las preguntas y respuestas, que permiten exponer ideas, la demostración con la que se busca implicar a los alumnos de forma interactiva con la ayuda de objetos para exponer una situación educativa. Elaboración propia Actuar/observar Inicialmente en este nuevo encuentro el docente, presento el tablero de multiplicación de Waldorf, y procedió a entregar individualmente los tableros a sus alumnos, posterior mostro su modo de uso, los alumnos estaban muy concentrados y motivados pues el recurso llamaba su atención, por lo cual escuchaban con detenimiento al docente, mediante el tablero se formó las tablas de multiplicar de 3 ,4 y 5 que fueron revisadas en la clase previa, estas combinaciones multiplicativas se encontraban en la pared de aula en los lápices de foami, lo que facilito recordar los resultados de cada multiplicación. El tiempo asignado de 30 minutos resulto suficiente para que los alumnos utilicen el recurso y repasen las combinaciones multiplicativas, al final todos querían seguir utilizando el recurso. Jonnathan Fernando Domínguez Alvarracin Página 49 Al continuar con la clase se procedió a realizar grupos de 4 personas en total se formaron 10 grupos, el docente realizo una división de roles entre los integrantes de cada grupo, la asignación de roles bu