UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Carrera de: Educación Básica Itinerario Académico en: Pedagogía de la Matemática Alternativa curricular para el desarrollo de la competencia en la resolución de problemas en el 9°B, Institución “Julio María Matovelle” Trabajo de titulación previo a la obtención del título de Licenciatura en Educación Básica Itinerario Matemática. Autores: Beatriz Graciela Pulla Pulla CI: 0105286744 Karen Alexandra Yagual Anchundia CI: 2450122011 Tutor: Dr. C. José Enrique Martínez Serra CI: 1758589889 Azogues, Ecuador 06-septiembre-2019 Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página ii Universidad Nacional de Educación RESUMEN La resolución de problemas es un contenido fundamental en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, por lo que varios países lo han plasmado en sus propuestas curriculares, entre ellos, el Ecuador. El presente trabajo analiza cómo se refleja estas propuestas curriculares, sobre la resolución de problemas, en el texto escolar de 9no grado, en relación al bloque de álgebra y funciones Durante la investigación, se realizó una profunda revisión teórica respecto al proceso de enseñanza aprendizaje de la resolución de problemas y el desarrollo de la competencia en los estudiantes para resolver problemas, llegando establecer conceptualizaciones y caracterizaciones importantes, que sirvieron de base para la operacionalización de las variables: formulación de los problemas matemáticos y competencia ante la resolución de problemas. Luego se realizó un diseño metodológico mixto encaminado a constatar a manifestación de ambas variables a manera de diagnóstico inicial en el libro de texto de 9no grado de la EGB y el paralelo 2 de la Unidad Educativa “Julio María Matovelle”, por medio de la observación participante, la entrevista a la docente, la prueba inicial; los cuales arrojaron vastas deficiencias en sus indicadores. Posteriormente se diseñó, aplicó y evaluó una alternativa curricular, que en cuyo centro tenía la propuesta de modificaciones de las formulaciones de problemas del libro de texto, arrojando resultados significativamente superiores a los obtenidos inicialmente, con lo cual se tributa a la mejora de la competencia para la resolución de problemas por los estudiantes. Palabras clave: problemas matemáticos, resolución de problemas, competencia para la resolución de problemas, texto escolar. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página iii Universidad Nacional de Educación ABSTRACT The problem solving is a fundamental content in the teaching and learning of mathematics, which is why several countries have expressed it in their curricular proposals, among them, Ecuador. This paper analyzes how these curricular proposals are reflected, on problem solving, in the 9th grade school text, in relation to the algebra and functions block. During the investigation, a deep theoretical review was carried out regarding the teaching- learning process of problem solving and the development of competence in students to solve problems, establishing important conceptualizations and characterizations, which served as the basis for the operationalization of variables: formulation of mathematical problems and competence in solving problems. Then a mixed methodological design was carried out aimed at verifying the manifestation of both variables as an initial diagnosis in the textbook of 9th grade of the GBS and the parallel 2 of the Educational Unit “Julio María Matovelle”, through observation participant, teacher interview, initial test; which showed vast deficiencies in their indicators. Subsequently, a curricular alternative was designed, applied and evaluated, whose center had the proposal to modify the formulations of textbook problems, yielding significantly higher results than initially obtained, which is taxed to improve competition for problem solving by students. Keywords: mathematical problems, problem solving, problem solving competence, school text. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página iv Universidad Nacional de Educación Indice Resumen II Abstract III Introducción 1 Planteamiento del problema 1 Justificación 3 Antecedentes 5 Marco teórico 7 El problema matemático 7 Clasificación de los problemas matemáticos 8 La clasificación de Polya 9 Clasificación de Blanco 9 La clasificación de Borasi 10 La resolución de problemas 13 Modelo de Polya (1981) 15 La resolución de problemas en el currículo ecuatoriano 16 Los problemas en la unidad de factorización y ecuaciones del bloque de álgebra y funciones del 9no grado de la EGB 17 Conceptualizaciones sobre la competencia para la resolución de problemas matemáticos18 Marco metodológico 22 Tipo de investigación 22 Métodos, técnicas e instrumentos de recolección de datos 23 Operacionalización de las variables 24 Operacionalización de la variable “competencia ante la resolución de problemas” 24 Operacionalización de la variable “formulación de los problemas matemáticos” 26 Principales resultados obtenidos en la etapa de “diagnóstico inicial” 27 Resultados de la entrevista a la docente de matemáticas 27 Resultados de la observación participante 28 Resultados de la prueba inicial 29 Resultados del análisis documental de los problemas planteados en el libro de texto 29 Fase III. Análisis de contenido de los problemas 34 Conclusiones parciales obtenidas a partir de la triangulación metodológica 61 Propuesta: Alternativa curricular 62 Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página v Universidad Nacional de Educación Elementos importantes de una alternativa curricular 62 Componentes de la alternativa 62 Diseño de la alternativa 62 Reformulación de los problemas 63 Recomendaciones generales 63 Implementación de la alternativa curricular 74 Cronograma de actividades 75 Evaluación de la alternativa 77 Resultados del postest 78 Análisis comparativo de los resultados: pretest y postest 78 Resultados de la observación participante 79 Resultados que muestran los rregistros de los diarios de campo 79 Conclusiones 83 Recomendaciones 84 Referencias Bibliográficas 85 Anexos 89 Anexo 1: Guía de entrevista no estructurada a la docente de matemáticas 89 Anexo 2: Formato de diario de campo aplicado antes y durante la implementación de la alternativa curricular 90 Anexo 3: Temario de la prueba inicial que contiene problemas presentados en el libro de texto 91 Anexo 4: Ejemplo de prueba inicial resuelta por un estudiante 93 Anexo 5: Registro del diario de campo durante la implementación de la alternativa curricular en el tema “factor común” 95 Anexo 6: Registro del diario de campo durante la implementación de la alternativa curricular en el tema “factor común” 97 Anexo 7: Registro del diario de campo durante la implementación de la alternativa curricular en el tema “diferencia de cuadrados perfectos” 99 Anexo 8: Registro del diario de campo durante la implementación de la alternativa curricular en el tema “factorización de expresiones de la forma xn yn ” 101 Anexo 9: Registro del diario de campo durante la implementación de la alternativa curricular en el tema “ecuaciones, igualdades equivalentes” 103 Anexo 10: Registro del diario de campo durante la implementación de la alternativa curricular en el tema “ecuaciones de primer grado con una incógnita” 105 Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página ii Universidad Nacional de Educación Anexo 11: Registro del diario de campo durante la implementación de la alternativa curricular en el tema “ecuaciones de primer grado con una incógnita en q” 107 Anexo 12: Ejemplo de prueba final resuelta por un estudiante 109 Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 1 Universidad Nacional de Educación INTRODUCCIÓN Comprender y dar resolución a los problemas es una de las competencias que se precisa desarrollar en los estudiantes en el área de Matemáticas, de tal manera que logren formarse en valores y actitudes, alcanzando los estándares de calidad educativa deseados. Sin embargo, a pesar de que en el currículo ecuatoriano se incluyen sugerencias y requerimientos para el desarrollo de cada tema, existen inconsistencias desde varios puntos de vista en la estructura de muchos problemas, lo que impide el proceso de resolución óptimo de los mismos; por lo cual se requiere realizar modificaciones a su planteamiento para contribuir al logro de las destrezas imprescindibles. Para la sistematización teórica de este tema se han considerado autores como Ceballos & Blanco. (2008), Díaz & Roa. (2014), Mosquera. (2018) y Barrionuevo. (2015), referentes que han permitido ampliar la visión de la problemática y conocer qué trabajos preceden al tema de investigación. A nivel nacional no existen investigaciones certificadas que hayan realizado análisis de los problemas que plantea el texto escolar, sin embargo, la que más aproximación tiene es la publicación titulada “Análisis de la Calidad y Funcionalidad del Texto Escolar Oficial del Primer Año de Educación General Básica Edición 2010”. Stevenson. (2003), refiere al texto escolar como una concreción curricular, porque en él detallan los temas que deben dictar, mientras que en el currículo la forma de enseñar. Por ello es imprescindible que la herramienta esté dotada de información que provea intencionalmente aprendizajes sólidos. No obstante, surgen interrogantes ¿Cómo pueden modificarse los contenidos o problemas que no contribuyen con la enseñanza del tema particular? ¿En qué debe basarse?, entre otras. Las autoras pretenden identificar qué problemas planteados cumplen con los objetivos para los cuales fueron diseñados, para ello han considerado realizar el análisis de contenido, incluyendo la clasificación y caracterización de los mismos. Para cumplir dichas tareas, se ha revisado una vasta bibliografía que evidencia la eficiencia didáctica de un texto y métodos de resolución de problemas, concibiendo las vías posibles de solución. Planteamiento del problema En el Ecuador, desde hace varias décadas se vienen desarrollando diversos esfuerzos, reformas y transformaciones en el ámbito educativo dirigidas a la mejora de la educación de Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 2 Universidad Nacional de Educación los niños, niñas, adolescentes y jóvenes, con la finalidad de que desarrollen competencias básicas necesarias y alcancen los estándares de calidad educativa. Al desarrollar las competencias los estudiantes serán capaces de utilizar e interrelacionar todo lo que han aprendido en cualquier contexto. En el área de la matemática, el término “competencia” hace referencia al “conjunto de capacidades puestas en juego por los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando resuelven o formulan problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones” (Rico, 2007, p. 50). El currículo ecuatoriano resalta la importancia de la resolución de problemas añadiendo que este es un medio para lograr el aprendizaje y no solamente un fin de la enseñanza, Y además, señala que como resultados se espera que los estudiantes sean capaces de proponer soluciones a cualquier situación problémica de la realidad mediante su conocimiento matemático y de otras disciplinas (Ministerio de educación, 2016). Considerando que el escenario de la investigación tiene lugar en la Unidad Educativa “Julio María Matovelle”, es preciso señalar que el modelo pedagógico de la institución descrito en su Proyecto Educativo Institucional (PEI), se fundamenta en el Constructivismo Social, centrándose en las experiencias y conocimientos previos que tiene el estudiante, para solidificar el nuevo conocimiento mediante actividades significativas y productivas para lo cual se tiene presente un contexto familiar para el estudiante, sin embargo los problemas que se abordan el proceso de enseñanza - aprendizaje de la Matemática de noveno grado, son en general muy reproductivos, o sea, que están encaminados solo a la repetición de algoritmos ya predefinidos en ejemplos anteriores para su resolución, sin presentar contextos adecuados de la esfera de intereses de los alumnos. En cuanto a la Planificación Curricular Institucional (PCI) de la institución, se menciona que en la enseñanza de la matemáticas uno de los métodos que se van a utilizar es el de resolución de problemas; sin embargo, no se especifica cómo se pretende desarrollar el mismo o cuáles estrategias se proponen utilizar para lograrlo. Respecto a las tareas, el documento señala que van a ser coherentes y apoyadas en el uso de estrategias para estudiantes con necesidades específicas de apoyo. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 3 Universidad Nacional de Educación Por otro lado, como parte de la labor desarrollada por las practicantes, autoras de este trabajo, a lo largo del ejercicio práctico-teórico como acercamiento a la labor docente, mediante los diarios de campo aplicados, se ha constatado el insuficiente tratamiento que se le da a los problemas matemáticos planteados en el texto del estudiantes, para lograr alcanzar la competencia matemática declarada en el Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes (PISA) de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE). PISA-D es un estudio que evalúa los conocimientos, competencias y actitudes de los estudiantes de 15 años, en las asignaturas de matemáticas, ciencias y lectura. En estas evaluaciones se ha encontrado que a nivel de matemáticas los países latinoamericanos son los que menores puntajes obtuvieron. Ecuador participó en el PISA-D realizado en el 2017, junto a ocho países de similares condiciones socio-económicas, obteniendo el mejor desempeño entre los países que participaron. Sin embargo, este resultado es bajo en consideración con los países miembros de la OCDE, considerando que un 70% de los estudiantes no alcanzan el nivel básico en el dominio matemático. Este nivel trata acerca sobre procedimientos rutinarios, tales como operaciones aritméticas, aplicaciones de fórmulas, etc. (INEVAL, 2018). En síntesis, con respecto a la problemática de investigación se tiene que, a partir de la observación participante realizada por la pareja pedagógica practicante al 9no “B” de la Unidad Educativa “Julio María Matovelle” durante el primer semestre del 2019, una entrevista no estructurada a la docente profesional de la clase, el análisis documental correspondientes a nivel meso y micro curricular y los resultados obtenidos por los estudiantes en una prueba de diagnóstico inicial, se evidenció que, durante las clases impartidas por el docente en el salón de clase, no se aprecia una adecuada competencia de los estudiantes durante el proceso de resolución de los problemas matemáticos, los problemas que se plantean carecen de contextos cercanos a los intereses de los alumnos y muchos de ellos presentan dificultades en su formulación, como se detallará más adelante. Justificación Durante la instrucción académica recibida y las prácticas preprofesionales ejercidas por las autoras, se han vivenciado situaciones curriculares contradictorias, tales como, la exigencia de comprender y desarrollar procesos cognitivos en las clases, pero que en la vida escolar, Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 4 Universidad Nacional de Educación específicamente durante el trabajo con los problemas, no se produce aproximación alguna, provocando muchas veces desinterés, frustración y emociones negativas que repercuten en el rendimiento académico. Como parte del contexto educativo, el Currículo Ecuatoriano de Matemática vigente menciona que el “estudiante alcanza un aprendizaje significativo cuando resuelve problemas de la vida real aplicando diferentes conceptos y herramientas matemáticos” mediante acciones pedagógicas que involucren la “resolución de problemas que impliquen exploración de posibles soluciones, modelización de la realidad, desarrollo de estrategias y aplicación de técnicas” (Ministerio de Educación, 2016, p. 53). Para lograrlo, el docente cuenta con una guía, texto escolar, que refleja teoría y propone problemas para reforzar los conocimientos. El propósito del uso del texto escolar es conducir los conocimientos que debe adquirir el estudiante, no obstante, en el ejercicio previo de la profesión se constató que los problemas planteados no guardan suficiente relación con lo teórico. La importancia de la realización de la investigación radica en que contribuirá significativamente a la práctica del docente de matemática de 9no EGB y sus estudiantes a priorizar el análisis de los problemas que plantea el texto escolar en el bloque de Álgebra y funciones, contemplando los diversos tipos de formulación y resolución de los mismos para lograr la competencia de los estudiantes durante la resolución de los problemas matemáticos. En atención a lo anteriormente descrito, se pretende dar respuesta a la siguiente pregunta de investigación: ¿Cómo contribuir a la competencia de los estudiantes durante el proceso de resolución de problemas propuestos en el bloque de Álgebra y Funciones del texto escolar de 9° EGB? Objetivos de investigación Objetivo General Plantear una alternativa curricular que contribuya al desarrollo de las competencias de los estudiantes para la resolución de problemas del bloque de Álgebra y funciones del texto escolar de 9° EGB. Objetivos específicos Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 5 Universidad Nacional de Educación  Sistematizar teórica y metodológicamente los aspectos relativos a la formulación y resolución de problemas y las competencias de los estudiantes para la resolución de problemas del bloque Algebra y Funciones de la asignatura Matemática en el noveno grado de la EGB.  Realizar un diagnóstico inicial sobre: la competencia ante la resolución de problemas sobre contenidos relativos al bloque de álgebra y funciones en los estudiantes que conforman la muestra de investigación.  Sintetizar las características de la formulación de los problemas del bloque de álgebra y funciones del Libro de Texto de 9no grado de la EGB.  Diseñar una alternativa curricular que incluya la reformulación de problemas del bloque de álgebra y funciones para contribuir a la competencia de la resolución de problemas sobre contenidos de dicho bloque.  Implementar y evaluar la alternativa curricular en los estudiantes del paralelo B de 9no grado de la Unidad Educativa “Julio María Matovelle”. Antecedentes Desde una perspectiva histórica, se ha procedido a describir algunas investigaciones realizadas con anterioridad respecto al análisis de los problemas matemáticos de los textos escolares. Ceballos y Blanco. (2008), realizan una investigación que aborda la resolución de problemas como el eje central bajo el cual desarrollan los procesos de enseñanza aprendizaje contribuyendo al fortalecimiento de habilidades matemáticas. Adscribe que existen problemas que conllevan procesos, investigación matemática, situaciones reales, puzzles, entre otros. De igual manera especifican que para analizar los problemas propuestos en el texto escolar hay que conocer la naturaleza de cada problema y la relación que guarda la teoría con el currículo. De su estudio se concluye que los textos escolares deben incluir problemas simples que apliquen algoritmos conocidos hasta los problemas complejos donde requieran de investigación y ejercicio de la lógica y razonamiento numérico. Los autores sugieren que “los textos escolares incluyan actividades en contextos efectivos que vinculen al niño con la realidad y la resolución de problemas y no solo actividades matemáticas o en contextos de simulación” p. 86 Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 6 Universidad Nacional de Educación Un estudio similar, realizaron Díaz-Levicoy, D., & Roa, R. (2014), al analizar las actividades propuestas para el tratamiento de contenidos de probabilidad en tres textos de octavo año, donde se consideró establecer diferencias entre ejercicios y problemas para poder delimitar la vía de resolución óptima y si los problemas son de contexto real, realista, fantástico o puramente matemático. En esta investigación se define al libro de texto como una herramienta de gran utilidad que “tiene un doble rol, por un lado, ayuda a los profesores a planificar sus clases y, por otro, sirve al estudiante para aclarar dudas” p. 11. Además, destacan que existe diferencia en la calidad de los libros de textos y que probablemente influyan en los procesos de instrucción. Mosquera, J. (2018), realiza un estudio comparativo de textos escolares de matemática de Ecuador y Venezuela, enfocándose en cómo presentan el tema Sistema de ecuaciones lineales refiriéndose a contenido y tareas propuestas. Determinando que en ambos textos existe “énfasis en lo operacional, y en omisiones, como la falta de definiciones de conjunto solución y de sistemas homogéneos” p. 92. El autor afirma que, para promover el razonamiento numérico, los textos escolares deben incluir problemas que les permita elaborar conjeturas y demostrar así su nivel de exigencia cognitiva. De manera local, no existe evidencia de investigaciones similares, sin embargo, el “Análisis de la Calidad y Funcionalidad del Texto Escolar Oficial del Primer Año de Educación General Básica Edición 2010” que realiza Barrionuevo, T., & Cecilia, F. (2015) concibe una afirmación en concordancia con los tres autores anteriormente mencionados “Los textos escolares son los intercesores para acercarnos al conocimiento y constituyen una herramienta elemental dentro del sistema educativo” (p. 22). Ese trabajo presenta detalles de una revisión de contenidos respecto a las actividades y las destrezas que se deben cumplir durante el proceso de aprendizaje. Como su población de estudio son los niños de primer grado, los resultados hacen hincapié en la forma de presentar el libro, unos de estos aspectos comprenden los espacios que los estudiantes tienen en cada hoja para realizar las tareas además de la importancia que tiene el rol del docente pues debe incorporar estrategias complementarias de las que están en el texto escolar. Por otra parte, Salcedo, A. (2015), presenta una investigación que analiza las actividades de estadística propuestas en los textos escolares de primaria, respecto al tipo de tareas, sean estas Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 7 Universidad Nacional de Educación de memorización, procedimiento con o sin conexión. De su estudio concluye que muchas de las actividades planteadas no están relacionadas con el contenido de la unidad por lo que sugiere “formular actividades donde los estudiantes tengan oportunidad de confirmar conocimientos y procedimientos, pero también se pueden formular actividades que lo lleven a comprender la naturaleza de los conceptos estadísticos y sus relaciones” (p. 85). A partir del análisis de los antecedentes descritos se puede inferir que existe estrecha relación entre la forma en que se formulan los problemas de los libros de texto con la competencia puedan tener los estudiantes durante la resolución de los mismos, es por ello que en el Marco Teórico del presente informe se presentan disquisiciones teóricas conceptuales y operacionales entre ambos aspectos. MARCO TEÓRICO El problema matemático A diario se puede escuchar la palabra “problema” un sinnúmero de veces, pues son situaciones dificultosas que todas las personas han atravesado en algún momento de su vida. Estas situaciones conllevan a la búsqueda de diversas acciones que puedan dar solución a la problemática. Sin embargo, se puede considerar que esta no es una tarea fácil ya que se desconoce si la acción va a ser eficaz, por lo que durante la búsqueda de la solución es necesario de análisis, reflexión y aplicación de los conocimientos o experiencias previas. Estas afirmaciones han sido referidas a los problemas en la vida cotidiana, pero que tienen muchos aspectos en común con los problemas en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática. Podemos decir que lo enunciado anteriormente describe claramente el concepto de problema matemático (PM), sin embargo, es necesaria establecer una conceptualización que sirva de referencia. Es así que, Díaz & Poblete (2001) señalan que un PM es un objetivo que se pretende alcanzar, pero para lograrlo debe vencer ciertos obstáculos como el desconocimiento del algoritmo útil de resolución, por lo que requiere de deliberación, imaginación y formulación de diversas estrategias que le ayuden en la resolución. Por su parte Polya (como se citó en Villalobos, 2008) dice que PM refiere a ¨la búsqueda consciente, con alguna acción apropiada, para lograr una meta claramente concebida pero no inmediata de alcanzar¨ (p. 38). Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 8 Universidad Nacional de Educación En este sentido y en base a los conceptos anteriores, se puede decir que un PM corresponde a una situación en la cual el estudiante debe realizar una tarea desconocida o poco conocida, basándose en sus conocimientos matemáticos, experiencias, habilidades e información recibida. Además, ya que el estudiante desconoce del algoritmo de solución requiere de realizar actividades como: leer y releer, analizar, investigar, reflexionar, conjeturar, investigar integrar conceptos, procedimientos y actitudes (Leal & Bong, 2015). El problema matemático para diferenciarse del ejercicio debe poseer ciertas características como: dar la oportunidad de partir o aplicar los conocimientos previos, poseer dificultades intelectuales además de operacionales o algorítmicas, además debe estar contextualizado respecto a la realidad y a los intereses de los estudiantes para que así sea motivador y por último debe poseer múltiples formas de solución mediante la utilización de diferentes métodos (Villalobos, 2008). Respecto a la contextualización, el programa PISA de la OCDE en sus pruebas plantea cuatro tipos de situaciones en las que se plantea los problemas: situación personal , hace referencia al contexto familiar y actividades cotidianas del estudiante; situación educativa o laboral, trata sobre la escuela o el trabajo; situación pública, abarca la comunidad donde se desarrolla el estudiante; y la situación científica, implica procesos tecnológicos o aspectos específicamente matemáticos (Rico, 2003). Clasificación de los Problemas Matemáticos En la revisión teórica se puede encontrar una diversidad de tipologías y criterios de clasificación de los problemas matemáticos, como los de Polya (1981), Borasi (1986), Abrantes (1989), Boavida (1993), Blanco (1993), Diaz y Poblete (2001), entre otros. El presente trabajo toma como base las propuestas de Polya, Borasi y Blanco, pues cada una de ellas aporta con formas diferentes de hacer matemáticas y sus actividades contribuyen al desarrollo de la competencia matemática, por lo que es importante su consideración en su enseñanza. Por un lado la clasificación de Polya se basa en la forma pedagógica de abordar la resolución de problemas y en la tarea que el estudiante debe realizar. En cuanto, Borasi no solamente se basa en la tarea a realizar, sino que para su clasificación ofrece elementos estructurales como: el contexto, la formulación de soluciones y métodos o estrategias de resolución de problemas, todo esto con la finalidad de mejorar el proceso de enseñanza de la matemática. Por otro lado, Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 9 Universidad Nacional de Educación la propuesta de Blanco se basa en el aprender haciendo por lo que considera que las clases de matemáticas deben realizarse considerando diferentes actividades y estas pueden desarrollarse con su clasificación La clasificación de Polya Polya (1981) distingue dos tipos de problemas: por resolver y por demostrar. Los “problemas por resolver” son más sencillos de resolver por lo que se aplican mayormente en las matemáticas elementales, ya que el objetivo es encontrar una incógnita. Mientras que los “problemas por demostrar” se enfocan a la matemática superior pues su objetivo es demostrar que la hipótesis enunciada es verdadera o falsa. Está clasificación se la detalla en la Tabla 1. Tabla 1. Clasificación de los problemas Matemáticos según Polya Problema por resolver Problema por demostrar Propósito Encontrar algún objeto, “la incógnita del problema”. Demostrar si una afirmación enunciada es falsa o verdadera. Elemento s La incógnita, los datos y la condición. “La hipótesis y la conclusión del teorema que se debe demostrar”. Ejemplo Construir un triángulo de lados a, b, c Incógnita - un triángulo Datos - los lados del triángulo. Condición - los lados del triángulo a construir tengan esas medidas. “Si los cuatro lados de un cuadrilátero son iguales, las dos diagonales son perpendiculares entre sí.” Hipótesis - “Si los cuatro lados de un cuadrilátero son iguales” Conclusión - “las dos diagonales son perpendiculares entre sí”. Fuente: Adaptado de Polya (1981, p. 162-162) Clasificación de Blanco Blanco (1993) plantea que las actividades matemáticas en clase deben “permitir: abstraer, aplicar, convencer, clasificar, inferir, organizar, representar, idear, generalizar, comparar, explicar, diseñar y desarrollar modelos, validar, conjeturar, analizar, contar, medir, sintetizar y Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 10 Universidad Nacional de Educación ordenar, etc.” (p. 49). De esta manera Blanco (como se citó en Blanco, Cárdena & Caballero, 2015) establece la siguiente clasificación:  Los ejercicios de reconocimiento tratan de “resolver, reconocer o recordar un factor específico, una definición o una proposición de un teorema” (p. 193).  Los ejercicios algorítmicos o también conocidos como de repetición pues a menudo son resueltos con algoritmos numéricos.  Los problemas de traducción simple o compleja son “formulados en un contexto concreto y su resolución requiere la traducción del enunciado a una expresión matemática” (p. 194). Son los típicos problemas de los libros de texto en los que para su resolución requiere de la interpretación correcta del problema, es decir, a la elección de un algoritmo adecuado.  Los problemas de procesos no tienen una forma de cálculo delimitado claramente, dando cabida a varias formas de resolución.  Los problemas sobre situaciones reales acerca de actividades estrechamente relacionadas a situaciones de la vida cotidiana que necesariamente requieren del uso de “habilidades, conceptos y procesos matemáticos” (p. 195).  Los problemas de investigación matemática están relacionados de forma directa con contenido matemático, su proposición no contiene una estrategia de representación por lo que debe buscar algún modelo de resolución.  Los problemas de puzles pretenden demostrar la capacidad recreativa de la matemática.  Las historias matemáticas son libros de cuentos, novelas y otras propuestas que requieren esfuerzo y conocimiento de conceptos matemáticos para su competencia. La clasificación de Borasi Borasi (como se citó en Conejo & Ortega, 2013) con el afán de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas presenta los siguientes elementos estructurales: el contexto, la formulación del problema, el conjunto de soluciones y el método; estos son presentados en un breve resumen en la Tabla 2. Borasi, sobre la base de estos elementos, clasifica a los problemas de la siguiente manera: ejercicio, problema con texto, puzle, prueba de una conjetura, problema de la vida real, situación problemática y situación. Blanco, Cárdena & Caballero (2015) explican cada una de las categorías:  Los ejercicios son planteados sin contextos y sus soluciones son obtenidas mediante la aplicación de fórmulas o algoritmos bien definidos. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 11 Universidad Nacional de Educación  Los problemas con textos son planteados a través de un texto y brindan la información necesaria para su resolución.  Los puzles son problemas donde el contexto demuestra la creatividad y recreación de la matemática. Para su resolución se debe buscar varias vías, aunque muchas de las veces no requiere necesariamente procesos matemáticos.  La prueba de una conjetura trata de demostrar un teorema o una propiedad matemática.  Los problemas de la vida real requieren de tres procesos para validar su resolución: “la creación de un modelo matemático de la situación, la aplicación de procedimientos y técnica matemáticas, y la traducción de la situación real para validar la solución” (p.192).  En la situación problemática se plantean preguntas abierta acerca de una propiedad matemática, con el objetivo de obtener nuevas conjeturas.  La situación facilita la formulación de conjeturas mediante la presentación de ciertas propiedades matemáticas. Existe una pregunta específica acerca de lo que el estudiante tiene que realizar. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 12 Universidad Nacional de Educación Tabla 2. Tipos de problemas según Borasi Fuente: Recuperado de CONEJO, Laura y ORTEGA, Tomás. (2013). Clasificación de los problemas propuestos en aulas de Educación Secundaria Obligatoria. Educ. mat [online]. vol.25, n.3, pp.129-158. ISSN 1665-5826 Tipos de problemas Elementos estructurales Contexto Formulación Soluciones Método Ejercicio Inexistente Única y explícita. Única y exacta Aplicación inmediata de algoritmos conocidos. Están implícitos en el enunciado. Problema con texto Contexto explícito, no necesariamente matemático. Única o con varias alternativas. Única o varias Combinación de etapas calculando incógnitas intermedias, creación de problemas. Puzle Explícito en el texto. Única y explícita. Única y exacta Elaboración de un nuevo algoritmo. Acto de ingenio. Prueba de una conjetura Explícito en el texto sólo de forma parcial, teorías conocidas son asumidas. Única y explícita. Por lo general única, pero no necesariame nte. Exploración del contexto, reformulación, elaboración de nuevos algoritmos. Problemas de la vida real Explícito en el texto solo de forma parcial. Parcialmente dada. Algunas alternativas posibles. Mucha posibles, de forma aproximada. Exploración del contexto, reformulación, creación de un modelo. Situación problemática Sólo parcial en el texto, problemática. Implícita, se sugieren varias problemáticas. Varias. Puede darse una explícita. Exploración del contexto, reformulación, plantear el problema. Situación Sólo parcial en el texto, no problemática. Inexistente, ni siquiera implícitamente Creación del problema. Formulación del problema. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 13 Universidad Nacional de Educación Estos tipos de problemas deben ser combinados adecuadamente en el proceso de enseñanza - aprendizaje de los contenidos matemáticos, pues permiten el tránsito por los diferentes niveles de asimilación: reproductivo, productivo y creativo; por supuesto, teniendo en cuenta las múltiples variables que confluyen en la elaboración óptima de las planificaciones de unidad didáctica (PUD), como: el tiempo disponible, las destrezas con criterio de desempeño (DCD) declaradas en el Curriculum, el estado actual de desarrollo cognitivo, motivacional, afectivo y volitivo de los estudiantes, los conocimientos previos, los elementos de la higiene escolar, etc. La resolución de problemas Para Polya (como se citó en Mieles 2012, p. 11) “resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”. Es decir, la resolución de problemas es la superación de algún tipo de dificultad, situación o momento desconocido o nuevo. En ella se destaca que los estudiantes construirán nuevos conocimientos mediante la exploración de métodos que den respuesta al problema, ya sean estos aplicados en el área de la matemática o en otros contextos, lo cual permitirá que el alumno tenga un desarrollo integral. La resolución de problemas es una modalidad de aprendizaje de las matemáticas. Es la escuela, el lugar donde los alumnos aprenderán a resolver problemas, por lo que es importante se consecuente en su tratamiento. Enseñar matemáticas mediante la resolución de problemas debe ser debe ser uno de los objetivos principales del currículo, pero no basta con colocar ejercicios en el texto escolar para que los estudiantes los resuelvan. Es necesario que se enseñe los procesos de resolución a través de diferentes modelos, siempre y cuando estos sean los más adecuados. En la educación básica se debe sentar las bases que servirán para que los estudiantes se desarrollen exitosamente en la actividad de la resolución de problemas. Por lo que, un resolutor de problemas se ha de ir desarrollando poco a poco, este se debe identificar ya que cuenta con: “un bagaje de conocimientos matemáticos claros, estructurados e interconectados, un método de resolución acompañado de una serie de estrategias heurísticas, una actitud positiva al aceptar el reto que se le propone” (Echenique, 2006, p. 25). Existen diversos autores con sus propuestas para el abordaje de un problema matemático. Unos modelos tienden por el lado matemático y estrategias heurísticas, mientras que otros se Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 14 Universidad Nacional de Educación van por los modelos psicológicos. Por su parte Mason, Burton y Stacey (como se citó en Vesga & Escobar, 2018) proponen un modelo de resolución de problemas que toma en consideración la “influencia del factor afectivo” para la resolución de problemas, así como el método IDEAL el cual es planteado por Bransford y Stein (como se citó en Benhayón & Morgenstern, s. f.). Mientras que las propuesta para la resolución de problemas de Mayer (como se citó en Iriarte, Alberto. & Sierra, Isabel, 2011) y Polya (1981) consideran las destrezas, conocimientos y habilidades adquiridas y por desarrollar. La siguiente tabla presenta algunas de las propuestas que existen para la resolución de problemas entre ellas tenemos a Polya (1981), Mason, Burton y Stacey (1988), Bransford y Stein (1993) y Mayer (2002) las mismas que se puede apreciar que presentan una gran similitud. Este parecido se debe a que, la mayor parte de los modelos de resolución de problemas han tomado como base o tienen un fundamento común a la propuesta de Polya. Por lo tanto, el modelo de Polya es el que va a ser asumido en el presente trabajo pues aparte de ser útil en la matemática puede aplicarse en cualquier ámbito de la vida cotidiana. Tabla 3. Modelos para la resolución de problemas Polya (1981) Bransford y Stein (1993) Mason, Burton y Stacey (1988) Mayer (2002) Comprender el problema, para lo cual se clasifica la información que nos provee el enunciado para entenderlo. Concebir un plan o estrategia que va a utilizar para resolver el problema. Ejecución del plan o la estrategia. Visión retrospectiva donde se cuestiona Identificar el problema. Definir los objetivos a alcanzar, para tratar al problema. Explorar las estrategias que pueden ser útiles. Anticipar potenciales resultados negativos o positivos. Lecciones aprendidas después de dar Atacar los problemas, mediante la reflexión para lograr su comprensión. Concebir un plan para resolver el problema. Desarrollo del plan en un ambiente cuyos elementos son: incógnitas, desafío y reflexión. Observar y reflexionar sobre cómo se vincula el nuevo conocimiento Traducción del problema es la destreza del alumno para cambiar las afirmaciones del enunciado del problema en una que pueda comprender. Integración del problema es la habilidad del alumno para reconocer y clasificar las tipologías de los problemas. Planificación y supervisión del problema se crea un plan. Ejecución de la solución se aplica los conocimientos matemáticos según el plan estipulado. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 15 Universidad Nacional de Educación a sí mismo sobre el proceso que realizó y que permitió solucionar el problema solución al problema. con lo conocido y puesto en práctica. Modelo De Polya (1981) A partir de los trabajos realizados por George Polya, la resolución de problemas matemáticos se consideró como importante en la enseñanza de la matemática. Es así, que Polya propone un método para la enseñanza y aprendizaje de los problemas en Matemática, convirtiéndose este en una nueva línea de investigación que trajo grandes avances para la educación matemática. El modelo de Polya promueve que los estudiantes trabajen con “problemas por resolver”, no solamente con ejercicios que impliquen la utilización de algoritmos rutinarios. Polya (citado por Echenique, 2006) propone para la resolución de problemas cuatro etapas, las cuales son: “comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan, y la visión retrospectiva”, Tabla 4. Otros autores como Schöenfeld, Müller y Junk mantienen una similitud respecto al modelo de Polya, en sus fases. Tabla 4. Modelo de solución de problemas de Polya. POLYA (1981) FASE PROCESOS REALIZADOS POR EL ALUMNO Comprender el problema Establecer la meta, los datos y las condiciones. Podría guiarse con estas preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? Concebir un plan Idea un plan de acción que le permita llegar a dar solución a la problemática. Se puede guiar en estas preguntas; ¿Se ha encontrado con problemas similares? ¿Conoce algún teorema similar que le haya ayudado a resolver un problema similar? ¿Podría emplear ese método? ¿Podría replantear el problema? Ejecutar el plan Lleva a cabo el plan. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 16 Universidad Nacional de Educación Visión retrospectiva Regresa a comprobar el resultado y a revisar el procedimiento. Fuente: Adaptado de Polya G. (1981). Como plantear y resolver problemas. Trillas. México. P La resolución de problemas en el currículo ecuatoriano En la actualidad, la resolución de problemas es considerada como un aspecto muy importante en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos matemáticos, puesto que, el estudiante no solamente aprende a resolver problemas matemáticos, sino que desarrolla habilidades que le pueden facilitar abordar cualquier situación problemática que se le presente en la vida cotidiana. La relevancia del aprendizaje de esta actividad ha llevado a que los sistemas educativos busquen integrar dentro de sus bases curriculares a la RP como parte fundamental en la enseñanza de la matemática. En la misma línea, el currículo ecuatoriano del 2016 pone énfasis a la RP puesto que esta actividad, mediante la puesta en práctica de ciertas capacidades, permite el desarrollo de la competencia matemática. Y al mismo tiempo, la adquisición de esta competencia permitirá a los estudiantes ser los ciudadanos que requiere la sociedad parar su desarrollo. Para lograr esto, el constructo del currículo de matemáticas toma como base el modelo epistemológico pragmático-constructivista, el cual considera que los estudiantes alcanzan un aprendizaje significativo cuando resuelven problemas de la vida cotidiana mediante la aplicación de conceptos y herramientas matemáticas (Ministerio de Educación, 2016). El currículo ecuatoriano del 2016 sugiere para la enseñanza de la resolución de problemas, el modelo que menciona Masami Isoda Shigeo Katagiri, en su texto “Pensamiento Matemático”, el cual es similar al modelo de Polya en específico en sus fases. Las fases que establece este autor son: plantear problemas, planificar y predecir soluciones, ejecutar la solución, explicar y validar la solución, y resumir/aplicaciones. Sin embargo, el currículo no menciona un modelo específico para que los estudiantes implementen en la resolución de problemas. Es poco lo que se encuentra sobre el tratamiento de los problemas matemáticos en el aula de clase, además de lo mencionado anteriormente. El currículo y sus bases se centran más en lo que se pretende lograr y no en el cómo o que se va a realizar para lograrlo. Esto se ve reflejado, en uno de los puntos del perfil de salida del bachiller ecuatoriano que menciona, que este debe Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 17 Universidad Nacional de Educación ser innovador respecto a que se mueve por la curiosidad intelectual por lo que indaga sobre la diversidad de situaciones que se presentan tanto en lo nacional como internacional para así aplicar sus conocimientos y poder resolver los problemas que se presenten. De igual manera, son muchos los objetivos y destrezas de aprendizaje que hacen hincapié en que los estudiantes deben lograr la capacidad de resolver problemas en cualquier contexto de la vida mediante la aplicación de los contenidos aprendidos y de la aplicación de diversas estrategias (Ministerio de Educación, 2016). Sin embargo, como se mencionó anteriormente no se resalta la importancia de los diferentes métodos y estrategias que el docente puede utilizar para resolver un problema. En concordancia con lo mencionado anteriormente, aunque el texto escolar es uno de los materiales más utilizados en el proceso de enseñanza-aprendizaje y debe posibilitar a que el estudiante cuente con información conceptual, procedimental y actividades adecuadas a sus intereses y edad evolutiva (Stevenson, 2003). El texto actual de matemáticas establecido por el Ministerio de Educación no especifica, el tratamiento que se puede dar al problema matemático. Solamente, a breves rasgos, al final de cada bloque se plantea un problema resuelto mediante las fases del modelo de Polya, y junto a este, se encuentran 2 problemas que deben ser resueltos mediante el mismo, sin embargo estos son muy poco considerados en la enseñanza de la matemática. Los problemas en la unidad de factorización y ecuaciones del bloque de Álgebra y Funciones del 9no grado de la EGB La unidad de factorización y ecuaciones del texto de noveno de EGB es la que se aborda en la presente investigación por lo que se realiza una breve descripción de su contenido. Esta unidad incluye el abordaje de la factorización de polinomios, así como, ecuaciones equivalentes, el despeje de incógnitas, así como la aplicación de propiedades y reglas. La Gráfica 1 especifica los temas tratados. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 18 Universidad Nacional de Educación Gráfico 1. Temas que abarca la unidad de factorización y ecuaciones Fuente: Adaptado del Currículo Ecuatoriano (2016) Los problemas relativos a estos temas que se presentan en el libro de texto son, en general, reproductivos y alejados de la esfera de intereses de los alumnos, sus formulaciones son muy limitadas a ejercicios que requieren de algoritmos predefinidos en su solución y en algunos casos, problemas con textos muy similares a los dos ejemplos de problemas resueltos que se presentan. Estos resultados se detallan más explícitamente en el epígrafe “Resultados del diagnóstico inicial” del Marco Metodológico. Conceptualizaciones sobre la competencia para la resolución de problemas matemáticos La utilización del término competencia resulta polémico entre los especialistas de diversas ciencias de la educación y está asociado a diferentes concepciones. La categoría competencia, abordada hasta la década de los años noventa desde la arista de la actividad cognitiva – instrumental humana, comienza a ser reconceptualizada en los marcos del debate internacional y regional en torno a los problemas de la calidad de la educación y la insuficiente relevancia o significatividad social e individual de los currículos de las instituciones educativas formales en todos los niveles. (Castellanos, Llivina, Fernández, 2003) Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 19 Universidad Nacional de Educación Diversos autores: Bunk, (1994); Gonczi (1996, 2001); Levy – Leboyer (1997, 2000); Ouellet, (2000); Vargas (2002), presentan criterios coincidentes al conceptualizar la competencia en términos de idoneidad para realizar una tarea teniendo en cuenta conocimientos, habilidades, capacidades y valores relacionados con el desempeño adecuado y eficiente de la profesión. La competencia es considerada también como configuración psicológica compleja en la que intervienen diferentes saberes (saber, saber ser, saber hacer, saber convivir y saber transformar) y que tienen determinada trascendencia en el sujeto y en su transformación como ser social, encaminadas a la superación personal y al empleo de todos los recursos disponibles para el crecimiento individual y por ende ampliar las posibilidades de cada individuo de convertirse en un ser social comprometido con su tiempo y capaz de asimilar los retos de un mundo en constante desarrollo. (González, 2002; Castellanos, 2003; Plá, 2005, 2009). Desde lo pedagógico el proyecto Tuning Educational Structures in Europe presenta las competencias como combinación de atributos: conocimiento, su aplicación, actitudes y responsabilidades, que describe los resultados del aprendizaje del proceso educativo y distingue competencias específicas en un campo de estudio y competencias genéricas (comunes y transferibles). (Tuning, 2003) Estudiosos de la pedagogía plantean que las competencias son reconocidas como “las que permiten solucionar los problemas inherentes al proceso pedagógico y al proceso de enseñanza - aprendizaje en particular en el contexto de la comunidad educativa escolar y en correspondencia con el modelo del profesional de la educación, con el propósito de promover el desarrollo integral de la personalidad del estudiantado”. (Páez, 2007, p.67) El estudio realizado permite a las autoras considerar que se trata entonces de redimensionar las competencias teniendo en cuenta la variedad de criterios de los diversos autores que consideran su importancia para el desempeño profesional: el solo hecho de que una persona posea conocimientos, habilidades y capacidades que le permitan resolver de forma eficiente los problemas matemáticos no lo hace competente, sino que es necesaria la integración de estos componentes y que además se manifieste con lo afectivo motivacional. Su comprensión integradora unifica de forma dinámica en el individuo el saber, el saber hacer y el saber transformar con sus recursos intelectuales y motivacionales, en función de la Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 20 Universidad Nacional de Educación resolución de problemas matemáticos, o sea, de un verdadero saber resolver con eficiencia cualquier problema matemático. El enfoque de competencias puede llevarse a cabo desde cualquiera de los modelos pedagógicos existentes, o también desde una integración de ellos (Tobón, 2005). En el caso de la resolución de problemas matemáticos, el desarrollo de competencias es un proceso conscientemente organizado, dirigido y necesario en las condiciones actuales de la educación en el mundo. Específicamente, este trabajo se enmarca en el estudio de la competencia de los estudiantes durante la resolución de problemas de álgebra y funciones por estudiantes de 9no grado; para ello se proponen algunas preguntas heurísticas que pueden conducir la reflexión de los estudiantes durante el proceso de resolución de problemas durante cada una de sus fases, lo cual facilitaría ostensiblemente la competencia matemática en este proceso: Para comprender el enunciado se hace necesario dirigir la reflexión hacia: ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuál es la condición?, ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?, ¿Es insuficiente?, ¿Redundante?, ¿Contradictoria?, ¿puede elaborar un organizador de los datos, incógnitas y condiciones que le permita una mejor comprensión del enunciado (figura, tabla, organigrama, etc)? En la segunda etapa, las reflexiones encaminadas a concebir el plan, deben centrarse en: -¿puede expresar las condiciones detectadas en el paso anterior mediante el lenguaje algebraico (ecuaciones, inecuaciones, sistemas, fórmulas, etc)? -¿Se ha encontrado con un problema semejante? -¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? -¿Conoce algún problema relacionado con este? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. -He aquí un problema relacionado al suyo y que se ha resuelto ya. ¿Podría usted utilizarlo? ¿Podría utilizar el resultado? ¿Podría emplear su método? ¿Le haría falta introducir algún elemento auxiliar? Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 21 Universidad Nacional de Educación -¿Podría enunciar el problema de otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? -Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? -Considere solo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿En qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí? -¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted las nociones esenciales concernientes al problema? -Delimite los pasos a seguir que permiten la determinación de las incógnitas a partir de los datos y las condiciones dadas. Para la ejecución del plan puede indicarse: -Compruebe cada uno de los pasos, al ejecutar su plan de la solución. -¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted demostrarlo? Al examinar la solución se indica realizar una visión retrospectiva de lo realizado, proponiendo las preguntas siguientes: -¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? -¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? -¿Puede usted emplear el resultado o el método en algún otro problema? -¿Pude plantear un nuevo problema relacionado con este? Los alumnos que transiten exitosamente por estas fases, puede decirse que van correctamente encaminados en el desarrollo de la competencia para la resolución de problemas. Más adelante, en el “Marco Metodológico”, se presenta la operacionalización de la variable “competencia en la resolución de problemas matemáticos” Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 22 Universidad Nacional de Educación MARCO METODOLÓGICO Tipo de Investigación El desarrollo de este trabajo fue llevado a cabo bajo el enfoque de investigación mixta, pues se procesan datos de variables cuantitativas y cualitativas. Como el objeto de estudio es la competencia ante la resolución de los problemas propuestos en el libro de texto, el método de investigación cualitativa se emplea, tanto en el análisis de la competencia antes y después de la implementación de la propuesta, como en el análisis documental que se realiza sobre los problemas del libro de texto determinando en qué medida la formulación de los problemas favorecen las destrezas para las cuales fueron planteados. El análisis se realizó a nivel micro estructural del texto escolar, pues el estudio se centró en una unidad específica (problemas planteados), los cuales se denominaron “unidades de análisis”. Bajo este enfoque la investigación tuvo como base el uso de categorías que sirven para la clasificación o agrupación de las unidades, determinando así aspectos positivos e inconsistencias expuestas en una tabla, incluyendo los temas que, según el libro de texto, debe abarcar para el cumplimiento de la destreza con criterio de desempeño. Luego de conocer cuáles son las principales falencias de los estudiantes en su competencia ante la resolución de problemas y las dificultades detectadas en la formulación de los mismos en el libro de texto, se procede a diseñar e implementar una alternativa curricular, que incluye como parte importante la reformulación de los problemas, en base a indicadores establecidos por las autoras del proyecto, diseñados tras la valoración teórica realizada a las obras de autores como Borasi, Polya y Blanco. Por otra parte, aparece el enfoque cuantitativo de la investigación, ya que tanto antes como después de la implementación de la alternativa curricular, se realizan evaluaciones a los estudiantes del 9no EGB paralelo B, donde se obtienen datos cuantitativos de sus calificaciones, los cuales se procesan con herramientas de la estadística descriptiva y se realizan comparaciones oportunas de los resultados obtenidos antes y después de la implementación y determinar cuál fue el avance. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 23 Universidad Nacional de Educación Métodos, técnicas e instrumentos de recolección de datos Debido a la naturaleza de las muestras se emplearon instrumentos de recolección de datos tal y como se especifica en el cuadro a continuación: Investigación Población Tipo de Muestra Métodos / Técnicas / Instrumentos Finalidad del instrumento C u a li ta ti v a Estudiantes del noveno año EGB de la Unidad Educativa Julio María Matovelle Muestra intencional: 35 estudiantes del noveno año EGB paralelo B; 32 varones y 3 mujeres que oscilan entre los 12 y 13 años. Entrevista no estructurada a la docente de Matemáticas / Guía de entrevista (Anexo 1) Ofrecer información sobre la manifestación de indicadores de la variable “competencia ante la resolución de problemas” y determinar las características de los problemas que son formulados en el PEA de la Matemática antes de la implementación. Observación participante / Diarios de Campo (Anexos 2, 5 al 11) Ofrecer información sobre la manifestación de indicadores de la variable “competencia ante la resolución de problemas” y determinar las características de los problemas que son formulados en el PEA de la Matemática antes de la implementación. Relatar las experiencias tras la ejecución de la clase con los problemas reformulados, incluyendo los aprendizajes obtenidos, los roles que tuvieron las autoras del proyecto y las recomendaciones para las futuras experiencias. (Anexos 5 al 11) Problemas declarados en el libro de texto de la Unidad 3 “Factorización y ecuaciones. Bloque Algebra y funciones Muestra variada: 56 problemas de la Unidad 3 “Factorización y ecuaciones. Bloque Algebra y funciones Análisis de los problemas del Libro de Texto / Ficha cualitativa denominada “Análisis de contenido” (en el cuerpo del informe) Identificar cuántos problemas se plantean en el libro de texto para el cumplimiento de la destreza con criterio de desempeño considerando el tema y los subtemas establecidos. Caracterizar los problemas propuestos según la categoría Tipología de problemas, Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 24 Universidad Nacional de Educación considerando la teoría propuesta por Polya, Borasi y Blanco. Determinar de qué forma se plantea el problema según la categoría Contextos, según establece Blanco. Determinar los aspectos positivos y las dificultades en la formulación de cada uno de los problemas. C u a n ti ta ti v a Estudiantes del noveno año EGB de la Unidad Educativa Julio María Matovelle Muestra intencional: 35 estudiantes del noveno año EGB paralelo B; 32 varones y 3 mujeres que oscilan entre los 12 y 13 años. Prueba estandarizada Prueba Inicial: Determinar el nivel de desarrollo de la competencia ante la resolución de problemas por los estudiantes, en base al planteamiento de problemas (los mismos del libro de texto) considerando que los temas ya se revisaron con anterioridad con la docente titular. (Anexos 3 y 4) Prueba Final: Determinar el desarrollo de la competencia ante la resolución de problemas por los estudiantes, después de implementada la alternativa curricular en base al planteamiento de problemas (reformulación de los propuestos en el libro de texto) considerando que las autoras del proyecto revisaron los temas y trabajaron en clases para reforzar el conocimiento. (Anexo 12) Operacionalización de las variables Operacionalización de la variable “competencia ante la resolución de problemas” A partir de los epígrafes anteriores abordados sobre la resolución de problemas y las conceptualizaciones sobre la competencia ante la resolución de problemas, pueden establecerse las siguientes dimensiones, subdimensiones e indicadores de la misma: Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 25 Universidad Nacional de Educación  Dimensión 1: Comprensión del enunciado o Subdimensión 1.1: Datos del problema  Indicador 1.1.1: Identificación de los datos  Indicador 1.1.2: Discriminación de los datos necesarios  Indicador 1.1.3: Notaciones adecuadas para los datos o Subdimensión 1.2: Incógnitas del problema  Indicador 1.2.1: Identificación de las incógnitas  Indicador 1.2.2: Notaciones adecuadas para las incógnitas  Indicador 1.2.3: Identificación de las condiciones que relacionan los datos y las incógnitas o Subdimensión 1.3: Organizadores  Indicador 1.3.1: Presentación de un organizador visual donde aparezcan las variables y las incógnitas (figura, tabla, organigrama, etc)  Indicador 1.3.2: Presencia adecuada de los datos y las incógnitas en el organizador.  Dimensión 2: Elaboración del plan o Indicador 2.1: Traducción del lenguaje común al algebraico de los elementos del modelo matemático. o Indicador 2.2: Delimitación adecuada del modelo (ecuación, inecuación, sistema, fórmula, producto notable). o Indicador 2.3: Delimitación de los pasos para resolver el modelo.  Dimensión 3: Ejecución del plan o Indicador 3.1: Aplicación correcta de los pasos determinados en el plan. o Indicador 3.2: Justificación suficiente de cada paso. o Indicador 3.3: Verificación de la veracidad de las inferencias realizadas.  Dimensión 4: Examen de la solución y la vía o Indicador 4.1: Comprobación de la veracidad de las soluciones obtenidas en cada condición o Indicador 4.2: Comprobación de la completitud de las soluciones obtenidas o Indicador 4.3: Valoración de otras vías de solución Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 26 Universidad Nacional de Educación Operacionalización de la variable “formulación de los problemas matemáticos”  Dimensión 1: Tipología de problema o Subdimensión 1.1: tipo de problema, según Polya  Indicador 1.1.1: Problema por resolver  Indicador 1.1.2: Problema por demostrar o Subdimensión 1.2: tipo de problema, según Blanco  Indicador 1.2.1: Reconocimiento  Indicador 1.2.2: Algorítmico  Indicador 1.2.3: Traducción simple o compleja  Indicador 1.2.4: Problema de procesos  Indicador 1.2.5: Situaciones reales  Indicador 1.2.6: Problemas de investigación  Indicador 1.2.7: Puzles  Indicador 1.2.8: Historias matemáticas o Subdimensión 1.3: tipo de problema, según Borasi considerando los indicadores operacionalizados, según la tabla:  Indicador 1.3.1: Problema con texto  Indicador 1.3.2: Puzle  Indicador 1.3.3: Prueba de una conjetura  Indicador 1.3.4: Problema de la vida real  Indicador 1.3.5: Situación problémica  Indicador 1.3.6: Situación  Dimensión 2. Contexto de la formulación del problema, según Blanco o Indicador 2.1: Contexto real o Indicador 2.2: Contexto realístico o Indicador 2.3: Contexto matemático o Indicador 2.4: Contexto manipulativo/ recreativo Estos indicadores han sido determinados en función de las necesidades de la investigación del objeto de estudio declarado en este proyecto y pueden ser refinados en investigaciones posteriores. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 27 Universidad Nacional de Educación Principales resultados obtenidos en la etapa de “Diagnóstico Inicial” Resultados de la entrevista a la docente de Matemáticas Con respecto a la pregunta: ¿Cuál es su opinión sobre la calidad de la formulación de los problemas que se presentan el libro de texto?, la docente manifestó que:  Existe una adecuada agrupación en problemas de exploración para introducir los temas, de ejercitación, de comunicación, de razonamiento y de “resolución de problemas” y están debidamente graduados por niveles de dificultad, según un código de colores establecido; pero sin embargo,  Muchas veces no contribuyen al desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño declaradas en el curriculum, pues, en general, predominan problemas que solo requieren algoritmos o fórmulas preestablecidas para ser resueltos exitosamente, de los cuales se resuelven dos ejemplos representativos ya contemplados en el texto.  En varios problemas del libro existen errores en su formulación, ya sea porque presentan ambigüedades en las condiciones que se dan, faltan datos o sobran datos, que impiden una solución exitosa del problema.  En general, los contextos de los problemas no incluyen aspectos cercanos a los intereses de los alumnos.  Casi no se presentan juegos o puzles que permitan hacer la Matemática mucho más divertida. Con respecto a la pregunta ¿En qué medida estos contribuyen al desarrollo de las destrezas con criterio de desempeño (DCD) declaradas en el Currículo de 9no grado?, la docente expresa que, los resultados de los estudiantes en las pruebas frecuentes, quimestrales e interciclos demuestran que existen muchos estudiantes próximos a alcanzar los aprendizajes requeridos (con promedio entre 4 y 6,99) y muy pocos dominan los aprendizajes requeridos, lo cual permite afirmar que la resolución de problemas no ha conducido adecuadamente al desarrollo de las DCD. Al responder la pregunta ¿Cómo transcurre la competencia ante la resolución de problemas por los estudiantes en el PEA de la Matemática?, la docente emite criterios valorativos semejantes a los esgrimidos en la pregunta anterior. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 28 Universidad Nacional de Educación Resultados de la observación participante A través de la observación participante realizada al PEA de las clases de Matemática impartidas por la docente se apreció, que en general, la docente sigue al pie de la letra el libro de texto y predomina una enseñanza tradicional, por medio de la exposición magistral de los conceptos, teoremas y operaciones básicas con expresiones algebraicas, se resuelven dos problemas a manera de ejemplos y se prosigue con el planteamiento de algunos problemas del libro, que pueden ser resueltos con recursos rutinarios muchas veces, ya sean fórmulas o algoritmos preestablecidos. Predominan dificultades durante: la identificación de los datos y las incógnitas y el empleo de notaciones adecuadas para ellos, no muestran habilidades en la identificación de las condiciones que relacionan los datos y las incógnitas ni presentan organizadores visuales adecuados donde aparezcan las variables y las incógnitas (figura, tabla, organigrama, etc.) Al tratar de realizar la traducción del lenguaje común al algebraico de las condiciones dadas en el problema predominan muchas confusiones, lo que trae consigo que el modelo matemático (ecuación, inecuación, sistema, fórmula, producto notable) no quede correctamente formulado. Muchas veces no se delimitan correctamente de los pasos para resolver el modelo, lo que impide la aplicación y justificación correcta de los pasos determinados en el plan. No se realizan verificaciones oportunas de la veracidad de las inferencias realizadas ni se comprueba la veracidad en cada condición dada, de las soluciones obtenidas, tampoco se valoran otras vías de solución de los problemas. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 29 Universidad Nacional de Educación Resultados de la Prueba Inicial Como se puede apreciar, los resultados son bastante deficientes y, en general, predominaron dificultades en la mayoría de los indicadores relativos a la competencia de la resolución de problemas, pues, aunque los problemas no requerían de la determinación de datos e incógnitas, ya que estaban bien definidos en su formulación, más de la mitad de los estudiantes no detectaron el producto notable que era necesario aplicar durante la factorización de expresiones algebraicas sencillas, no recordaban las fórmulas de área y perímetro de figuras planas, ni el volumen de prismas sencillos para ejecutar los productos notables que quedaban indicados. En varios casos, se confundían unos productos notables con los otros; como en el problema 8. Con respecto a las inecuaciones, predominaron errores en algunos de los pasos descritos en la formulación de los problemas. Resultados del análisis documental de los problemas planteados en el libro de texto Para poder realizar el análisis respectivo del objeto de estudio, es decir los 56 problemas propuestos en la Unidad 3, Factorización y ecuaciones del Bloque de Algebra y funciones del libro de texto de 9no EGB MINUEDUC, se llevaron a cabo las siguientes fases: FASE 1: Identificación de las destrezas con criterios de desempeño respecto a los temas y subtemas de la Unidad 3, Factorización y ecuaciones del Bloque de Álgebra y Funciones. En 0,00 29,41 41,18 47,06 50,00 52,94 52,94 64,71 55,88 91,18 100,0 70,6 58,8 52,9 50,0 47,1 47,1 35,3 44,1 8,8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Item 6 Item 7 Item 8 Item 9 Item 10 Resultados del Pretest Items Correctos % Items Incorrectos % Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 30 Universidad Nacional de Educación esta primera fase se presenta una tabla donde se esquematiza de forma clara y precisa las destrezas establecidas en el currículo y en libro de texto, además de los temas que se desarrollan para alcanzar las mismas. Tabla 5. Destrezas Unidad 3, Factorización y ecuaciones del Bloque de Algebra y Funciones Tipo de destreza Currículo Libro Temas de los problemas planteados Im p re sc in d ib le M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas. Reconocer, calcular e identificar factores de expresiones algebraicas. Factor común Factorización por agrupación de términos Diferencia de cuadrados perfectos Factorización de cubos perfectos - suma y diferencia. Factorización de expresiones de la forma xn ± yn Factorización de trinomios cuadrados perfectos Factorización de trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción Factorización de trinomios de la forma x2n+bxn Factorización de trinomios de la forma ax2n+ bxn+c Factorización aplicando la regla de Ruffini. Im p re sc in d i b le M.4.1.20. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en Q en la Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en Q en la Ecuaciones: igualdades y equivalentes Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 31 Universidad Nacional de Educación solución de problemas sencillos. solución de problemas sencillos. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Im p re sc in d ib le M.4.1.38. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en R para resolver problemas sencillos Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en R en la solución de problemas sencillos Ecuaciones de primer grado con una incógnita D es ea b le M.4.1.22. Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema. Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita en Q e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema. Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita. Im p re sc i n d ib le M.4.1.21. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q de manera algebraica. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q de manera algebraica. Inecuaciones de primer grado en Q con una incógnita. D es ea b le M.4.1.22. Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema. Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados que involucren inecuaciones de primer grado con una incógnita en Q e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema. Problemas con inecuaciones de primer grado con una incógnita. Fuente: Adaptado del Currículo Ecuatoriano (2016). Fase II: Identificación del número de problemas propuestos en el apartado “desarrolla tus destrezas” para cada tema. En esta fase se procedió a identificar qué cantidad de problemas plantea el libro de texto para abarcar cada tema considerando las respectivas destrezas que se deben alcanzar, se menciona que el apartado desarrolla tus destrezas, hace referencia a los ejercicios y problemas que establece el libro para que el estudiante refuerce los contenidos revisados el cual se divide de la siguiente manera: Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 32 Universidad Nacional de Educación A continuación se explican cada una de las agrupaciones realizadas a los problemas: 1. Ejercitación. Actividades planteadas para que los estudiantes determinen las respuestas de forma rápida conociendo los procedimientos enseñados con antelación. 2. Comunicación. Actividades para que los estudiantes realicen conexiones entre las representaciones simbólicas o gráficas y las ideas sobre el tema que puedan tener. 3. Razonamiento. En este apartado se plantean actividades donde el estudiante relaciona los contenidos y los interpreta, argumentando la información presentada. 4. Resolución de problemas. Se plantean problemas donde el estudiante interprete, razone y al emitir un juicio, idee varias formas de resolverlo considerando lo aprendido a lo largo del estudio de los temas. Para aplicar los contenidos trabajados se plantean cierto número de problemas, a continuación se mostrará la cantidad propuesta para el respectivo refuerzo de cada tema según la destreza con criterio de desempeño que se pretende alcanzar. 1 2 4 3 Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 33 Universidad Nacional de Educación Tema Estructura del apartado “desarrolla tus destrezas” Página del libro Ejercitación Comunicación Razonamiento Resolución de problemas Factorización de polinomios. Factor común 3 actividades (24 literales) 7 actividades (55 literales) 2 actividades (10 literales) 1 problema (1 literal) 97 Factorización por agrupación de términos 2 actividades (13 literales) 1 actividad (4 literales) 2 actividades (11 literales) 1 actividad (1 literal) 99 Factorización de la diferencia de cuadrados perfectos 7 actividades (48 literales) NINGUNA NINGUNA 1 actividad (1 literal) 101 Factorización de cubos perfectos. Suma y diferencia 7 actividades (48 literales) NINGUNA NINGUNA 1 actividad (1 literal) 103 Factorización de expresiones de la forma xn± yn 4 actividades (38 literales) 3 actividades (17 literales) NINGUNA 1 actividad (1 literal) 105 Factorización de trinomios cuadrados perfectos 1 actividad (7 literales) NINGUNA 3 actividades (19 literales) 1 actividad (7 literales) 107 Factorización de trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción 4 actividades (25 literales) 1 actividad (5 literales) 1 actividad (1 literal) 1 actividad (4 literales) 109 Factorización de trinomios de la forma x2n + bxn +c 1 actividad (14 literales) NINGUNA 3 actividades (12 literales) 3 actividades (3 literales) 111 Factorización de trinomios de la forma ax2n + bxn + c NINGUNA 6 actividades (38 literales) 2 actividades (7 literales) 1 actividad (3 literales) 113 Factorización aplicando la regla de Ruffini 5 actividades (34 literales) NINGUNA 3 actividades (12 literales) 1 actividad (1 literal) 115 Ecuaciones: Igualdades, equivalentes 1 actividad (5 literales) 1 actividad (5 literales) 2 actividades (5 literales) 1 actividad (1 literal) 117 Ecuaciones de primer grado con una incógnita: más de un término, con paréntesis, con denominadores 1 actividad (4 literales) 5 actividades (25 literales) 3 actividades (9 literales) 1 actividad (4 literales) 119 Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 34 Universidad Nacional de Educación Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita NINGUNA 5 actividades (9 literales) 2 actividades (5 literales) 5 actividades (5 literales) 126- 127 Inecuaciones de primer grado en Q con una incógnita 3 actividades (13 literales) 1 actividad (5 literales) 1 actividad (4 literales) 1 actividad (3 literales) 131 Problemas con inecuaciones de primer grado con una incógnita NINGUNA 2 actividades (13 literales) NINGUNA 10 actividades (11 literales) 133 Fase III. Análisis de contenido de los problemas El análisis se presentará de forma explícita resaltando aspectos en el siguiente orden para cada problema. 1. Tema de la unidad 3 en el cual están planteados los problemas. 2. Problema que plantea el libro para el desarrollo de la destreza con criterio de desempeño. 3. Contenidos abarcados con la resolución del problema. 4. Determinación de la tipología de problema (dimensión 1) según Polya, Blanco y Borasi considerando los indicadores operacionalizados, según la tabla: CATEGORÍA: TIPOLOGÍA DE PROBLEMA Subcategoría: Tipo de problema según Polya Indicadores No cumple Si cumple Problema por resolver El propósito debe ser encontrar la incógnita Sus elementos son incógnita, datos y condición Problema por demostrar El propósito debe ser demostrar si el enunciado es verdadero o falso Sus elementos son hipótesis y conclusión Subcategoría: Tipología de problema según Blanco Indicadores No cumple Si cumple Reconocimiento Tratan de resolver, reconocer o recordar una definición, tema o fórmula Algorítmico Su vía de solución es mediante algoritmos Traducción simple o compleja Para su resolución se requiere interpretar el enunciado y traducir a una expresión matemática Problema de procesos No tienen una forma de cálculo delimitado, es decir existen varias formas de solucionarlo Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 35 Universidad Nacional de Educación Situaciones reales En su formulación relacionan actividades de la vida cotidiana que requieren de habilidades matemáticas Problemas de investigación En su formulación se plantea la búsqueda de estrategias de solución y la consulta de otras fuentes. Puzles Su formulación se refiere a un juego, acertijo, crucigrama, rompecabezas, entre otros. Historias matemáticas Su formulación está dada a través de cuentos, novelas, entre otras. Subcategoría: Tipología de problema según Borasi Indicadores No cumple Si cumple Problema con texto Su contexto no es necesariamente matemático presentando además en su formulación una o varias alternativas de solución Puzle Su formulación está explícita y dada como un juego, donde solo existe una sola solución Prueba de una conjetura En su formulación se pretende demostrar un teorema o propiedad matemática Problema de la vida real En su formulación presenta la creación de un modelo matemático adaptado a situaciones de la vida real Situación problémica En la formulación se plantean preguntas abiertas a cerca de una propiedad matemática o tema específico Situación Se presentan propiedades matemáticas en su formulación, acompañado de una pregunta sobre lo que se debe realizar que por lo general es la creación de un problema. 5. Determinación del contexto de formulación del problema (dimensión 2) según Blanco, considerando los indicadores operacionalizados, según el esquema: CATEGORÍA: CONTEXTO DEL PROBLEMA Subcategoría Indicadores Si cumple No cumple Contexto real Presenta una situación escolar o personal de los estudiantes relacionado con lo que vive realmente en el día a día, es decir se incluye en la formulación aspectos de su entorno físico y social que puedan manipular y determinar la vía de solución Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 36 Universidad Nacional de Educación Contexto realístico La formulación parte de una situación real pero que no sucede en ese momento, es decir deben visualizar o recordar los objetos o sujetos para obtener una respuesta. Contexto matemático En su formulación se mencionan datos netamente contextualizados a la matemática excluyendo referencias de situaciones reales o simuladas Contexto manipulativo/ recreativo Presenta una situación donde se sugiere recordar las formulas o definiciones para la resolución, considerando que la orden sería manipular, construir, dibujar, pintar, representar, medir, entre otros, es decir que el estudiante utilice recursos lúdicos para demostrar que comprende el contenido. 6. Juicios de valor crítico emitidos por las autoras del proyecto, bajo el nombre de aspectos positivos y dificultades en la formulación encontradas. Tema: Factorización de polinomios. Factor común Problema planteado en el libro para el desarrollo de la destreza con criterio de desempeño: Felipe y Estefanía conversan sobre su tarea de matemáticas. Cada uno asegura que el otro ha factorizado mal la expresión x3-2x2+x. Observa el trabajo de cada uno. Felipe x3-2x2+x = x (x2+2x-1) = x (x+2-0) Contenido desarrollado con la resolución del problema planteado en el libro Factores primos Máximo común divisor X Mínimo común múltiplo Factor común de un polinomio x FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipo de problema según Polya Problema por demostrar Estefanía x3-2x2+x = x (x2- 2x +1) ¿Quién tiene razón? Explica tu respuesta Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 37 Universidad Nacional de Educación Tipología de problemas Tipo de problema según Borasi: Problema con texto Tipo de problema según Blanco: Problema de traducción simple Contexto del problema Contexto real X Contexto realístico Contexto matemático Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación:  El problema muestra una situación en la que se debe demostrar la falsedad o la exactitud de la respuesta dada.  Consta de dos elementos; hipótesis y conclusión  El libro solo muestra un problema, en el cual no se evidencia el desarrollo total de los subtemas declarados, como se refleja con anterioridad son cuatro contenidos que debería abarcar, sin embargo, solo se logra practicar uno; máximo común divisor. A pesar de que en la formulación del problema se observa un contexto y se propicia el desarrollo de los procesos de razonamiento no es suficiente para alcanzar la destreza con criterio de desempeño. Tema: Factorización por agrupación de términos Problema planteado: Para construir una estructura de cartón se requieren cuatro piezas de diferente área. ¿Cuál es la expresión factorizada que corresponde a la sumatoria de todas las áreas? Contenido desarrollado con la resolución del problema planteado en el libro Propiedad Asociativa de la adición X Propiedad distributiva de la multiplicación X FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por resolver Tipo de problema según Borasi: Situación problémica Tipo de problema según Blanco: Problema sobre situaciones reales Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 38 Universidad Nacional de Educación Contexto del problema Contexto real Contexto realístico Contexto matemático X Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación:  Tiene como finalidad descubrir la expresión factorizada considerando datos como el área de 4 figuras geométricas.  Consta de tres elementos: incógnita, datos y condición  En el problema formulado se logran revisar contenidos como la propiedad asociativa de la adición y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, pero en el enunciado no se especifica que el estudiante deba desarrollar el problema teniendo como base los pasos para factorizar por agrupación de términos Tema: Factorización de la diferencia de cuadrados perfectos Problema planteado: Un centro vacacional diseñó un modelo de piscina que tiene dos secciones. Si el área de la zona de adultos se puede expresar como x2 - 144, ¿cuáles son las expresiones algebraicas para las dimensiones de esta zona? Contenido desarrollado con la resolución del problema planteado en el libro Diferencia de cuadrados perfectos X FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por resolver Tipo de problema según Borasi: Problema de la vida real Tipo de problema según Blanco: Problema sobre situaciones reales. Contexto del problema Contexto real Contexto realístico X Contexto matemático Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación:  Tiene tres elementos incógnita, datos y condición  Su finalidad es encontrar las expresiones algebraicas para las dimensiones de la zona  El problema permite que el estudiante desarrolle la diferencia de cuadrados perfectos, sin embargo, se considera que se debe formular actividades que Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 39 Universidad Nacional de Educación permitan el desarrollo de los procesos cognitivos como el razonamiento es decir de tener varias hipótesis o respuestas y poder verificarlas mediante la realización del proceso respectivo para la obtención de las soluciones. Tema: Factorización de cubos perfectos. Suma y diferencia Problema planteado: ¿Cuál es la expresión que representa el volumen de la figura 4? ¿Cuál es la factorización de esta expresión? Volumen: Expresión Factorizada: Contenido desarrollado con la resolución del problema planteado en el libro Factorización de la suma de cubos perfectos X Factorización de la diferencia de cubos perfectos FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por resolver Tipo de problema según Borasi: Problema contexto Tipo de problema según Blanco: Problema de traducción simple Contexto del problema Contexto real Contexto realístico Contexto matemático X Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación:  Tiene tres elementos; incógnita, datos y condición  Su finalidad es determinar la expresión algebraica y factorizarla.  El problema planteado, únicamente permite ejercitar el contenido de la factorización de la suma de cubos perfectos, mientras que la diferencia no se trabaja. Sólo se propone un problema que requiere de la representación del volumen de un cubo que tiene adicional otro más pequeño en una de sus bases. El enunciado no especifica que el estudiante deba resolver el problema señalando cada uno de los pasos necesarios para obtener la factorización de cubos perfectos. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 40 Universidad Nacional de Educación Tema: Factorización de expresiones de la forma xn± yn Problema planteado: Julián realizó su tarea de matemáticas, pero no está seguro de los procedimientos y estrategias de factorización que utilizó. Analiza y corrige la factorización de cada polinomio si es necesario. Contenido desarrollado con la resolución del problema planteado en el libro Expresiones de la forma xn+ yn X Expresiones de la forma xn- yn X FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por demostrar Tipo de problema según Borasi: Situación problémica Tipo de problema según Blanco: Ejercicio de reconocimiento Contexto del problema Contexto real X Contexto realístico Contexto matemático Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación:  La finalidad del problema es determinar si los procedimientos realizados están correctos  Tiene hipótesis que están plasmadas como resoluciones de cada caso de factorización  Tiene conclusión, en este caso son las respuestas dadas a los literales.  El problema permite que el estudiante desarrolle la capacidad de razonamiento, debido a lo que expresa el enunciado. Se trabaja expresiones de la forma xn± yn no de forma directa en la resolución sino como una hipótesis y una posible solución. Sin embargo, la pareja pedagógica alega que para determinar las respuestas es necesario que el estudiante identifique en otras actividades adicionales al problema los pasos para factorizar cada expresión. Tema: Factorización de trinomios cuadrados perfectos Problema planteado: Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 41 Universidad Nacional de Educación La Figura 6 es un cuadrado dividido en cuatro partes: un cuadrado grande, un cuadrado pequeño y dos rectángulos iguales. Con base en esta información y la que ofrece la figura 6, calcula lo que se indica a. La medida de un lado de la figura. b. El área de cada una de las partes: • Cuadrado grande • Cuadrado pequeño • Rectángulo c. El área total de la figura. d. De las siguientes seis expresiones, hay dos que corresponden al área de la figura. Encuéntralas y subráyalas. x2 + y2 (x + y)2 2x + 2y (xy)2x x2 +2xy + y2 x2 – y2 e. Explica por qué se puede asegurar que la siguiente igualdad es correcta: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 f. Encuentra la expresión que representa el área del rectángulo cuando y = 7. g. Determina el valor que toma x, si el área total de la figura es: A =256 + 32y + y2 Contenido desarrollado con la resolución del problema planteado en el libro Cálculo de áreas X Factorización trinomio cuadrado perfecto x Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 42 Universidad Nacional de Educación FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por resolver Tipo de problema según Borasi: Situación problémica Tipo de problema según Blanco: Problema de traducción simple Contexto del problema Contexto real Contexto realístico Contexto matemático X Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación:  Consta de tres elementos las incógnitas, datos y la condición  La finalidad del problema es determinar las respuestas en base a los datos propuestos.  La formulación del problema se realiza de forma óptima, a pesar de que sólo se presenta uno, es suficiente porque abarca los subtemas repasados e incluso refuerza el cálculo de áreas. Tiene siete literales en los que el estudiante reflexiona y analiza las posibles respuestas. Tema: Factorización de trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción Problema planteado: Luis debe factorizar los polinomios. Ayúdale a lograrlo. Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 43 Universidad Nacional de Educación Contenido desarrollado con la resolución del problema planteado en el libro Factorización de trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción X FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por resolver Tipo de problema según Borasi: Situación Tipo de problema según Blanco: Ejercicio de reconocimiento Contexto del problema Contexto real Contexto realístico X Contexto matemático Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación:  Tiene tres elementos en cada uno de los literales, incógnitas, datos y condición.  La finalidad es determinar los valores que faltan en cada cuadro.  El problema tiene cuatro literales, cada literal representa un trinomio que debe ser transformado a trinomio cuadrado perfecto considerando el contenido es decir los pasos de adición y sustracción. No se encuentran irregularidades en la formulación porque con el desarrollo del mismo se le permite al estudiante aplicar lo revisado en clase y valorar los logros que tuvo en cada literal del problema. Tema: Factorización de trinomios de la forma x2n + bxn +c Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 44 Universidad Nacional de Educación Contenido desarrollado con la resolución de los problemas planteados en el libro Factorización de trinomios de la forma x2n + bxn +c X Problema 1 planteado: El área de la superficie plana de un modelo de mesa rectangular está dada por la expresión x2 + 6x +5 ¿Cuáles serán las expresiones algebraicas para las medidas de sus lados? FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por resolver Tipo de problema según Borasi: Problema contexto Tipo de problema según Blanco: Problema de traducción simple Contexto del problema Contexto real Contexto realístico X Contexto matemático Contexto manipulativo/ recreativo Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 45 Universidad Nacional de Educación Problema 2 planteado: La figura 2 muestra el área de un piso de madera. A= x2 + 12x + 27 ¿Cuáles son las expresiones que representan la base y la altura de esa superficie? FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por resolver Tipo de problema según Borasi: Problema contexto Tipo de problema según Blanco: Problema sobre situaciones reales Contexto del problema Contexto real Contexto realístico X Contexto matemático Contexto manipulativo/ recreativo Problema 3 planteado: Observa la evaluación de Mateo y después responde. Mateo afirma que su calificación es incorrecta. ¿Por qué? ¿Cuál es la calificación correcta? FICHA CUALITATIVA: “ANÁLISIS DEL CONTENIDO DEL PROBLEMA” Categoría Subcategoría Resultado Tipología de problemas Tipo de problema según Polya Problema por demostrar Beatriz, Pulla; Karen, Yagual Página 46 Universidad Nacional de Educación Tipo de problema según Borasi: Situación problémica Tipo de problema según Blanco: Problema sobre situaciones reales Contexto del problema Contexto real X Contexto realístico Contexto matemático Contexto manipulativo/ recreativo Aspectos positivos y dificultades encontrados de la formulación: Problema 1  Tiene tres elementos; incógnita, datos y condición.  La finalidad del problema es determinar la medida de cada uno de los lados de la mesa rectangular expresadas de forma algebraica. Para el desarrollo de las destrezas se proponen 3 problemas con los que se refuerza el contenido de factorización de trinomios de la forma x2n + bxn +c. En la formulación de cada uno se especifica la orden y se contextualiza de forma clara cada problema, además de propiciar el desarrollo de procesos como el análisis y razonamiento. Problema 2  Tiene tres elementos; la condición, datos e incógnita  La finalidad del problema es determinar la base y la altura a través de la resolución de la expresión algebraica. Problema 3  Tiene hipótesis, es decir la resolución de cada expresión  Tiene conclusión, en este caso que son las respuestas dadas en cada literal Tema: Factorización de trinomios de la forma ax2n + bxn + c Problema planteado: El polinomio que describe las utilidades de una empresa que fabrica